3.1 變異數與標準差
理論上，風險被定義成報酬的離散程度：
為什麼用這個？三個理由。第一，它數學上好處理（可加、可微、有封閉解）。第二，如果報酬是常態分配、或投資人的效用函數是二次式，那麼平均數與變異數就完全描述了投資人在意的一切。第三，它可以加總——這是整個組合理論的基石，我們在第 5 章會看到。
3.2 時間的平方根律
若各期報酬獨立同分配，變異數隨時間線性累積，標準差則隨時間的平方根成長：
所以年化 20% 波動的股票，四十年的累積對數報酬標準差是 20% × √40 ≈ 126%。這個 √40 值得記住：它意味著即使長期期望報酬是正的，四十年後的財富仍有極大的離散度。
對應 §3.2計算核心 src/lib/finance/returns.ts
左右兩張圖用的是同一個 σ、同一條公式，卻給出方向相反的兩個結論。這不是矛盾，是因為它們量的是不同的東西：左圖的縱軸是「年化報酬」，右圖的縱軸是「財富倍數」。時間平均掉了報酬率的雜訊，卻累積了財富的雜訊。財經媒體講「長期投資降低風險」時用的是左圖，而退休那天面對的是右圖。
圖 3-1四十年投資期的不確定性放大係數。年化報酬率的不確定性隨時間縮小（除以 T），財富的不確定性卻隨時間放大（乘以 √T）——這兩件事同時成立，而且第二件才是會經歷的。資料來源：不需要外部資料：由 σ√T 直接產生。方法與判斷
書中把公式排成圖片。改為行內數學標記（√40 ≈ 6.32），順便補上「40 年期的不確定性放大 6.3 倍」這句結論。
3.3 常態分配是騙人的：厚尾
如果日報酬真的服從常態分配，1987 年 10 月 19 日那種 −22.6% 的單日跌幅，在宇宙年齡的尺度上都不該發生一次。實際上它發生了，而且類似量級的事件反覆出現。
單日上漲 ≥ 5%單日下跌 ≥ 5%
圖 3-21926 年以來單日漲跌超過 ±5% 的交易日。26,274 個交易日中出現 128 天；同樣的平均數與標準差之下，常態分配預期只會出現 0.09 天。極端事件不但比常態多得多，而且叢聚在危機期間。資料來源：Kenneth R. French Data Library，Fama–French 日資料的市場報酬（Mkt-RF + RF）。方法與判斷
改用 CRSP 全市場而非 S&P 500，樣本更完整；並加上「同樣樣本下常態分配預期出現幾天」的對照註記。
把虧損幅度與其發生頻率同時取自然對數，資料會落在一條近似直線上——這是冪律（power law）的特徵，而不是常態分配的特徵。常態分配的尾巴以指數的平方衰減，冪律的尾巴衰減得慢得多。
圖 3-3單日跌幅對其發生頻率的雙對數圖。跌幅 2% 以上的區段接近直線，代表冪律尾部；虛線是同參數常態分配的預期頻率。兩者的距離就是「厚尾」的實際大小。1987 年 10 月 19 日即使在冪律之下仍然是離群值。資料來源：同上。方法與判斷
改良：加上實際估計的尾部指數 α 與常態分配的對照曲線，讓「厚尾」不只是形容詞。
正文引用了這張圖裡的具體數字。改資料來源時，正文必須同步核對。
對應 §3.3計算核心 src/lib/stats.ts
把上面模型的「厚尾程度」從 ν=30（接近常態）拉到 ν=3，同一個跌幅的重現期會從「幾萬年一次」變成「幾年一次」。這個差距不是細節上的修正，它是量級上的錯誤。
實務上這帶來三個修正：（一）不要用常態假設去估算最壞情境，用歷史上真實發生過的最大回檔；（二）標準差仍然可用，但它是「一般時期」的風險刻度，不是「危機時期」的；（三）任何在尾部會爆掉的策略（高槓桿、賣選擇權、流動性錯配），其歷史夏普值都是假的。
3.4 標準差以外的風險量尺
既然標準差有這些缺陷，為什麼不換一個？答案是：可以換，而且各有各的用途，但沒有一個能取代它在組合數學裡的位置——因為只有變異數可以透過共變異數矩陣加總。以下是實務上值得知道的幾種：
| 量尺 | 定義 | 它回答什麼、它的盲點 |
|---|
| 標準差 σ | √E[(R−μ)²] | 「一般時期的擺動幅度」。唯一可加總，因此是組合理論的基礎。盲點：對稱、假設厚度正常。 |
| 半變異數 | E[min(R−目標, 0)²] | 只罰下跌，符合投資人的真實感受（§18 損失趨避）。盲點：估計更不穩定，且組合層級不可加。 |
| VaR（風險值） | 「95% 的日子裡虧損不超過 X」 | 監理與風控的標準語言。盲點致命：它完全不描述剩下 5% 有多慘，而且不滿足次可加性（分散化可能讓 VaR 上升）。 |
| CVaR／期望短缺 | 最差 5% 情境的平均虧損 | 修好了 VaR 的兩個毛病，是「一致性風險量尺」。盲點：尾部樣本太少，估計誤差極大。 |
| 最大回檔 MDD | 歷史高點到之後最低點的跌幅 | 最貼近「會不會放棄」的量尺，因此在行為上最有用（§19.1）。盲點：只是單一歷史樣本，不是機率陳述。 |
| 回檔期間 | 從高點跌下去到收復所需時間 | §22.3 會說明：真正讓人放棄的不是跌幅，是長度。日本 1989 年之後的三十年是最好的例子。 |
| 破產機率 | 財富觸及某個下限的機率 | 槓桿與提領兩章的核心（§20、§25.9）。它是唯一能表達「不可逆」的量尺。 |
一個實務準則：用標準差做組合數學，用最大回檔做心理測試，用破產機率做槓桿與提領決策。這三件事分屬不同層次，混用會出錯——例如用標準差去判斷「正二 ETF 可不可以長抱」，會漏掉最重要的那一項（§25.10）。
3.5 真正的風險：不是波動，是不可逆的資本損失
學術定義的風險是波動；生活裡的風險是「在最需要錢的時候沒有錢」。兩者大部分時候方向一致，但在幾個關鍵處分岔：
- 波動是對稱的，但自己對上漲與下跌的感受不對稱（見第 18 章的展望理論）。
- 波動不區分「暫時下跌後回來」與「永久損失」。持有全市場指數的 −50% 通常屬於前者，個股 −50% 常常屬於後者。
- 波動不包含「被迫在低點賣出」的風險——這是提領階段的核心問題，見第 20 章。