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全書目次

第二部　組合的數學

9　CAPM 與 beta

作者：全書章節

如果（一）所有人都照第 8 章那樣行動、（二）所有人對 μ 和 Σ 的看法一致、（三）沒有稅與交易成本，那麼所有人持有的切點組合必須加總等於市場上所有資產的總和。換句話說，切點組合就是市值加權的市場組合。這一步就是 CAPM 的全部內容。

9.1　證券市場線的推導

考慮把權重 x 放在資產 i、(1−x) 放在市場組合 M，得到組合 q：

μq=xμi+(1−x)μMσq2=x2σi2+(1−x)2σM2+2x(1−x)σiM\mu_q = x\mu_i + (1-x)\mu_M \qquad \sigma_q^2 = x^2\sigma_i^2 + (1-x)^2\sigma_M^2 + 2x(1-x)\sigma_{iM}

在 x = 0 處求導：dμqdx=μi−μM;dσqdx=σiM−σM2σM\frac{d\mu_q}{dx} = \mu_i - \mu_M \quad ; \quad \frac{d\sigma_q}{dx} = \frac{\sigma_{iM} - \sigma_M^2}{\sigma_M}

故邊際替換率 dμ/dσd\mu/d\sigma 在 x=0 處 = (μi−μM)σMσiM−σM2\frac{(\mu_i - \mu_M)\sigma_M}{\sigma_{iM} - \sigma_M^2}

均衡時此值須等於 CML 斜率 μM−rfσM\frac{\mu_M - r_f}{\sigma_M}，整理得：

E[Ri]=rf+βi(E[RM]−rf),βi=σiMσM2\mathbb{E}[R_i] = r_f + \beta_i\left(\mathbb{E}[R_M] - r_f\right) \quad , \quad \beta_i = \frac{\sigma_{iM}}{\sigma_M^2}

這條式子叫證券市場線（SML）。它說的事情極為深刻：一個資產的期望報酬，完全由它與市場的共變異數決定，跟它自己的總波動無關。個別波動（idiosyncratic risk）可以被分散掉，市場不會為它付錢。

推導到這裡就結束了，但一條理論線值不值得記住，要看它放到資料上會發生什麼。拿十個依淨值市價比排序的十分位組合，用全期月報酬估各自的 β，再對照它們實際拿到的年化超額報酬：

十個淨值市價比十分位的 beta 與實現超額報酬，對照理論證券市場線散布圖。橫軸是以全期月報酬估出的 beta，縱軸是同一段期間實現的年化超額報酬。虛線是理論的證券市場線：通過原點、斜率等於市場的年化超額報酬 8.3%。十個點由成長端的 beta 1.01 排到價值端的 1.45，報酬差 5.33 個百分點，其中 beta 能解釋 3.64 個百分點，剩下 1.69 個百分點在線外。6%8%10%12%14%0.91.01.11.21.31.41.51 成長10 價值β = 1β（對市場因子的全期迴歸斜率）實現的年化超額報酬
十個十分位理論證券市場線（過原點）橫斷面最小平方擬合（R² = 0.78）
圖 9-1把證券市場線畫出來，用的是十個淨值市價比十分位的全期資料。十個點確實由左下往右上排——β 是有用的。但它們不落在理論線上：價值端與成長端 5.33 個百分點的報酬差裡，β 解釋 3.64 個百分點，剩下 1.69 個百分點是 CAPM 定義下的 α。橫斷面擬合線的截距是 −2.50%，理論上應該是零。第 10 章要補的就是這段線外的距離。資料來源：同上，1926-07 – 2026-06 共 1200 個月；市場因子與無風險利率取自 F-F Research Data Factors。
這張圖是怎麼做的

這裡的組合是依淨值市價比排序，不是依 β 排序，所以它檢定的不是文獻上「SML 過於平坦」那個命題（那需要 β 排序組合，本專案沒有這份面板），而是「β 有沒有把價值溢酬定價進去」。兩者結論方向不同，圖說如實寫出實測結果。另一個要留意的地方：十個十分位等權並列並不等於市值加權的市場組合——價值端公司多但市值小——所以整組的平均 α 天生偏正。圖上該讀的是「點沿 β 排列的斜率與理論斜率不同」，不是「每一個都打敗市場」。

先看好消息：十個點確實由左下往右上排。β 高的組合報酬也高，而且橫斷面擬合的 R² 有 0.78——在只用一個變數解釋十個資產的情況下，這不是一個弱的結果。「只有共動的風險才有報酬」這句話在資料上站得住。

再看壞消息：點沒有落在理論線上。價值端與成長端的報酬差是 5.33 個百分點，其中 β 能解釋 3.64 個百分點，剩下 1.69 個百分點掉在線外。而且擬合線的截距是 −2.50%，理論上它應該是零（β = 0 的資產只該賺無風險利率）。掉在線外的那一段，正是 CAPM 定義下的 α，也是第 10 章存在的理由：不是要推翻 β，而是要問「線外那一段還有沒有別的名字」。

要老實說明這個檢定測的是什麼。這裡的組合依淨值市價比排序，不是依 β 排序，所以它問的是「β 有沒有把價值溢酬定價進去」，而不是文獻上「實際的 SML 比理論平坦」那個命題——後者需要 β 排序組合，本書手上沒有那份面板。兩個問題的答案方向不同，不能互相代替。

對應 §9.1

9.2　beta 的兩種讀法

β 同時是（一）迴歸 Ri−rf=α+β(RM−rf)+εR_i - r_f = \alpha + \beta(R_M - r_f) + \varepsilon 的斜率，與（二）資產對組合總風險的邊際貢獻。第二種讀法更本質：把 σp2\sigma_{p}^2 對 wiw_{i} 微分，會得到 2Cov⁡(Ri,Rp)2\operatorname{Cov}(R_i, R_p)，也就是說加一塊錢進某資產所增加的組合風險，正比於它與組合的共變異數。

兩種讀法都指向同一件事：β 量的是「跟市場一起動多少」，不是「自己動多大」。這個區別在實務上被混用得很嚴重，因為兩者在中文裡常被同一個詞（「波動」）帶過。把迴歸式的變異數取出來就清楚了：

σi2=βi2σM2+σε2\sigma_i^2 = \beta_i^2\sigma_M^2 + \sigma_\varepsilon^2

前一項是系統風險（會被定價），後一項是殘差風險（在分散的組合裡會被消掉，因此不被定價）。

以 σM\sigma_{M} = 20%、β = 0.8 為例：系統部分是 0.8 × 20% = 16%。若這家公司自己的殘差波動 σε=15%\sigma_\varepsilon = 15\%，則 σi=162+152≈21.9%\sigma_i = \sqrt{16^2 + 15^2} \approx 21.9\%。

β 只有 0.8，總波動卻高於市場的 20%。

這在集中持股的控股公司、單一產業龍頭、以及任何自帶營運或財務槓桿的企業身上是常態。持有整個市場時，殘差會被別的持股抵銷掉，所以 §9.1 只補償 β。但對只買一檔、又要對它施加槓桿的人來說，這是個關鍵區別：§2 的波動拖累與 §25 的 (k2−k)σ2/2(k^2-k)\sigma^2/2 吃的是 σi\sigma_{i}，不是 β。低 β 不會替持有人省下任何一分衰減。§25.13 會把這件事算到底。

還有第三件事，兩種讀法都看不出來：β 是一個估計量，而它會漂移。上面的推導把 β 當成資產的固定屬性寫進式子裡，實務上它每一段期間都不一樣。同一批十分位組合，改用「前 60 個月」逐月重估：

最成長與最價值兩個十分位的 60 個月滾動 beta折線圖。橫軸為年份，縱軸為以前 60 個月估出的 beta。價值端十分位的 beta 在 0.72 與 2.16 之間移動，成長端在 0.83 與 1.30 之間。兩條線多次交叉，也就是說「誰比較敏感」這件事本身會換人。0.60.81.01.21.41.61.82.02.219401960198020002020視窗結束年份β（前 60 個月）
最高淨值市價比十分位（價值）最低淨值市價比十分位（成長）
圖 9-2β 不是資產的固定屬性。用前 60 個月估同一個十分位，價值端的 β 在 0.72 與 2.16 之間移動，成長端在 0.83 與 1.30 之間，兩條線還多次交叉。§9.1 的推導把 β 當成已知常數；實務上它是一個要估、而且會漂移的量。資料來源：同上；每個點是以該月為止前 60 個月的月超額報酬對市場因子迴歸的斜率。
這張圖是怎麼做的

視窗長度 60 個月是實務上常見的設定，不是估出來的最適值；視窗越短擺動越大，越長越平滑但反應越慢。這個取捨本身就是 §16 的估計誤差問題。

價值端十分位的 β 在 0.72 與 2.16 之間移動——這不是兩個資產的差別，是同一個資產在不同時期的差別，而且擺盪幅度比多數人心中「beta 大約多少」的印象大得多。成長端穩定一些（0.83–1.30），但兩條線多次交叉：「誰對市場比較敏感」這件事本身會換人。

這對實務有兩個後果。第一，看到任何產品標示 β 值，要先問它是用多長的視窗、哪一段期間估的；沒有這兩項資訊的 β 不能拿來比較。第二，如果 β 都這麼不穩，那麼建立在 β 之上的權重會更不穩——這正是第 16 章的主題，而那裡的結論會比這裡難看得多。