14　相關係數與分散化的極限

14.1　分散化的天花板

假設 N 個資產等權重$(w_i = 1/N)$，平均變異數為 $\sigma^2$、平均共變異數為 $\sigma_{ij}$。代入第 6 章的展開式：

這是全書最重要的極限之一。無論買多少檔股票，組合變異數都不會低於資產之間的平均共變異數。若所有資產有共同的相關係數 ρ 與相同的 σ，則 $\sigma_p \to \sigma\sqrt{\rho}$。以美國個股的典型 $\rho \approx 0.3,\ \sigma \approx 40\%$ 計算，極限是 $40\% \times \sqrt{0.3} \approx 22\%$——這正是整體市場的波動度。

實務推論：從 1 檔加到 20 檔，可分散風險降低約 90%；從 20 檔加到 500 檔，只再降一點點。所以「持有 30 檔就夠分散了」這句話對波動大致成立，但對報酬離散度完全不成立——個股報酬是極度右偏的（少數公司貢獻幾乎全部的市場報酬），30 檔的組合有很高機率錯過那幾家。這是 Bessembinder 的研究結果，也是「持股數量夠了就好」這個直覺最大的漏洞。

14.2　相關係數不是常數

這張圖對「國際分散」的實務意義是毀滅性的：五十年前它是強效的分散工具，今天它主要是在分散單一國家政治與貨幣風險，而不是在降低短期波動。這不代表不該做國際分散——分散的理由從「降低波動」轉為「避免押錯國家」（回想圖 2-2）。

圖 14-3 值得特別強調。1980–2000 年股債正相關，2000–2021 年負相關，2022 年又回到正相關。「債券會在股票下跌時上漲」這件事不是自然律，它是特定通膨環境下的產物。如果自己的整套資產配置邏輯建立在負相關上，那其實是在對通膨體制下注。

14.3　分散化最有價值的時候，感覺最糟

統計量	第 10 百分位	中位數	第 90 百分位	怎麼讀
50/50 年化報酬 − 較好成分	−4.21%	−1.74%	−0.56%	正值＝混合組合贏過兩者
50/50 年波動 − 較穩成分	−3.82%	−0.67%	0.88%	負值＝混合組合更穩
同時贏過兩個成分的視窗	—	2%	—	47 個視窗中的比例

樣本使用全部可對齊資料，每隔 12 個月開始一個 8 年視窗，50/50 每年底再平衡。

成分報酬用的是市值加權指數，未扣任何費用與稅。實務上兩邊都要扣，再平衡本身也有成本；這份摘要檢查機制在多少視窗成立，不是從歷史中挑一段最好看的路徑。

圖 14-4 的每一點是一個八年視窗：橫軸是 50/50 相對於較穩的那個成分多出的波動，縱軸是它相對於較強的那個成分多出的報酬。多數點落在左半邊——混合之後確實比較穩；落在上半邊的卻很少。表 14-1 用分位數把這件事寫清楚：波動差的中位數是 −0.67 個百分點，報酬差的中位數是 −1.74 個百分點，四十七個視窗裡只有一個同時贏過兩個成分。分散化通常買到的是「更穩」，「連報酬也更高」要等兩個成分的長期報酬夠接近才會出現——它的報酬是後付的，而且付款日不由持有人決定。

股市端採 French 的 CRSP 全市場含息序列，因為它公開、可重算，而且與本書其他圖表同源。統計涵蓋全部可對齊的滾動視窗；歷史上的分布不代表未來保證。

14.4　分散化的五個層次：到底在分散什麼

「分散化」這個詞被用得太籠統，導致很多無效的爭論。實際上它至少有五個層次，每一層消除的風險不同、成本不同、失效的時機也不同：

這張表有一個實務上很有用的推論：很多人的「分散化」其實只做到第①層，卻以為自己做到了第④層。手上八檔台股 ETF 看起來很分散，但它們在②③④三層上完全重疊（回想 §6.2 的對角線模型）。第 28 章那則貼文的爭議，本質上就是第③層要不要做。

14.5　「買穩定的股票」不是分散化

前面說分散化是唯一的免費午餐，最常見的誤讀是把它替換成另一件事：不必分散，只要挑「穩定」的標的就好——民生消費、電信、公用事業、金融股，歷史報酬平穩、配息連續，而且真出事政府一定會救。這個組合直覺上風險很低。但它與分散化不是同一種機制，而且它降低的東西，大多不是理論所說的風險。以下拆成五個層次。

一、免費午餐來自低相關，不是來自低波動。回到 §14.1 的極限式：組合變異數收斂到$\sigma_{ij}$，也就是平均共變異數。單一資產的 $\sigma_{i}$ 小，並不會讓這個下限變小；只有相關係數低才會。四檔電信加三檔金融，個別波動都不高，但它們之間的相關係數極高（同一個利率因子、同一個本地景氣、同一個監理環境），所以整個組合的共變異數項幾乎沒有被稀釋。用 §14.4 的分層來說，這種做法停在第①層甚至更淺，卻常被誤以為做到了第④層。

二、被消除的是可分散風險，被留下的是被定價的風險。§9 的 SML 說：期望報酬只補償共變異數，不補償個別波動。「穩定股」的低 σ 主要來自低個別波動，而個別波動本來就可以免費分散掉——所以放棄分散、改用低波動來控制風險，等於用一個要付代價的方法去取代一個免費的方法。低波動異常（低 β 股票的風險調整後報酬偏高）確實存在（§9 的 Betting Against Beta），但它是一個因子，需要在廣泛分散的前提下、以系統性方式取得；把它縮成七檔本地股票，得到的是因子曝險加上大量未定價的個別與產業風險。

三、「政府一定會救」通常保住系統與債權人，股東仍可能歸零。這是最需要講清楚的一點。隱性政府擔保在資產定價上等於一個賣權（Merton 的存款保險定價框架）：它的存在會被資本化到價格裡，價格上去，期望報酬就下來——擔保的價值早已反映在價格中，不會額外送出報酬。更重要的是，紓困的標準做法是保住債權人、存款人與營運，代價是股權被清零或極度稀釋。2008 年的實例：Fannie Mae 與 Freddie Mac 進入政府接管、普通股價值幾乎歸零；Bear Stearns、Washington Mutual、Lehman 的股東損失接近全部；接受注資的銀行則被強制發行優先股與認股權證，稀釋既有股東。「大到不能倒」保護債券持有人；股東常常會先被沖掉。金融股的風險也不能只看波動：它們的槓桿倍數高，資產端一個百分點的減損就能吃掉相當比例的權益。問題出在分布形狀，標準差看不出來。

四、報酬型態是「賣出保險」——平時穩定，罕見情況大幅損失。這種組合的歷史報酬序列看起來平穩，正是因為尾部事件在樣本期內很少發生（Rietz–Barro 的罕見災難，以及所謂 peso problem：風險存在但樣本裡還沒實現）。§3.3、§3.4 已經處理過這件事——標準差對負偏斜、厚尾的分布是系統性低估的量尺，這類部位應該用最大回檔與情境分析來看。具體的反例不難找：台灣金融股在 1998–2002 年的不良債權與 2005–2006 年的雙卡風暴中出現長期減損；被視為最穩定的公用事業與電信，在利率上升期的表現接近長債（§27），因為現金流長、對折現率極度敏感；受費率管制的產業還多一層監理風險——價格由主管機關決定，不由市場決定。

五、穩定配息不是低風險的證據。由 §23.1 的股利無關論，配息只是把公司的錢從左口袋搬到右口袋；連續三十年配息說明的是管理層的政策與過去的現金流能力，不是未來風險的度量。§23 已經看過，高股息組合的超額報酬大部分可被價值與獲利能力因子解釋，而其中隱含的風險是「配息政策本身會在最需要現金的時候被砍」——2020 年歐洲監理機關直接要求銀行停發股息，就是這個風險的實現形式。

14.6　ρ 在崩盤時為什麼會跑到 1：多少是真的，多少是抽樣

§14.2 給了結論：相關係數不是常數。但「危機時相關性上升」這句話裡混了兩件性質完全不同的事，而它們的處方相反。其中一件是統計假象，另一件是真的。先把假象的部分算乾淨，剩下的才是需要處理的風險。

定理：ρ 完全不變，樣本相關也會在尾部上升

條件變異數本身有封閉解。以標準常態為例，取「雙尾大波動」|X| > c 時 s² = 1 + c·φ(c)/(1−Φ(c))；取「只看下跌」X < −c 時 s² = 1 − λ(λ−c)，λ = φ(c)/Φ(−c)。代進去就得到下面模型裡那三條線。以 ρ = 0.3、c = 1.5σ 為例：條件在「大波動」上時 s² ≈ 3.9，算出的相關係數跳到 0.53；只取平靜期樣本則掉到 0.23；而只取「單邊大跌」的樣本時變異數反而被壓縮（遠尾很薄），算出的相關係數掉到 0.12。同一個市場、同一個 ρ，光靠挑日子的方式就能得到 0.12 到 0.53 的任何答案。這也說明為什麼文獻上處理這件事用的是「超越相關」（exceedance correlation，條件在 |X| > c 上），而不是單尾條件——後者的偏誤方向剛好相反。

這個結果有一個直接的實務後果：絕大多數「危機時分散化失效」的圖表，至少有一部分是自己的抽樣方式造成的。Boyer、Gibson 與 Loretan（1999）與 Forbes 與 Rigobón（2002）用這個修正重新檢視亞洲金融風暴的「傳染」證據，發現扣掉條件異質變異之後，許多所謂的傳染其實只是原本就存在的相互依存。

但真的那一半：尾部相依

兩把尺，兩個用途