高登方程式的另一種表現形式，是把估值倍數當作起點。席勒的週期性調整本益比 （CAPE）用過去十年的實質盈餘平均當分母，藉此濾掉景氣循環：
CAPE = P 實質 過去十年實質 EPS 平均 \text{CAPE} = \frac{P_{\text{實質}}}{\text{過去十年實質 EPS 平均}} CAPE = 過去十年實質 EPS 平均 P 實質 席勒週期調整本益比（CAPE）的長期走勢 折線圖。橫軸為年份 1881 至 2026，縱軸為 CAPE 倍數。全期間平均約 17.8 倍，最高 44.2 倍（1999-12）、最低 4.8 倍（1920-12）。最新值為 41.2 倍（2026-08）。這條線在一百四十年裡反覆穿越平均值，但每一次回歸都以十年為單位。 0 10 20 30 40 50 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020 全期間平均 17.8 全期最高 1999 44.2 次高 1929 32.6 全期最低 1920 4.8 2026-08 41.2 年 CAPE（倍） Yu Lab · yulab.tw 圖 12-1 席勒 CAPE 的一百四十年史。最新值 41.2 倍（2026-08），全期間最高是 1999 年的 44.2 倍，平均 17.8 倍（圖上的虛線）。這條線反覆穿越平均值，但每一次回歸都以十年為單位。 資料來源：Shiller, Online Data（CAPE 欄）。這正是該指標的原始出處。 起始 CAPE 與其後十年年化實質報酬的關係 散點圖。每一點是一個起始月份：橫軸為當月 CAPE，縱軸為其後十年的年化實質總報酬。共 543 個重疊的十年期。整體呈負斜率，但同一個 CAPE 區間內的報酬仍然分散：CAPE 15 以下 的十年報酬介於 −4.0% 到 19.7%；CAPE 15–25 的十年報酬介於 −4.6% 到 15.5%；CAPE 25 以上 的十年報酬介於 −5.2% 到 11.4%。 −5% 0% 5% 10% 15% 20% 5 10 15 20 25 30 35 40 45 R² = 0.24 起始 CAPE（倍） 其後十年年化實質報酬 Yu Lab · yulab.tw 圖 12-2 起始 CAPE 與其後十年年化實質報酬。負斜率明顯，但同一個 CAPE 水準下的離散度很大：CAPE 15 以下 落在 −4.0% 到 19.7%、CAPE 15–25 落在 −4.6% 到 15.5%、CAPE 25 以上 落在 −5.2% 到 11.4%。估值說明機率分布的位置，不說明會發生什麼。 資料來源：Shiller, Online Data。重疊的十年期，因此觀測值之間不獨立——R² 會高估解釋力。
對應 §12
這是一個需要 JavaScript 的互動模型。它背後的公式在正文裡都推導過， 關掉 JavaScript 不會漏掉任何結論。
怎麼讀這張圖，決定了是理性的投資人還是災難。正確的讀法 ：起始估值對長期報酬有明顯的解釋力，所以高估值時應該下修自己的報酬假設（多存一點錢、晚一點退休）。錯誤的讀法 ：CAPE 高於某個門檻就清倉。後者在 1996–2000 年會讓人錯過四年的大多頭，在 2013–2021 年會讓人錯過八年。
可能會有的反駁
「圖上關係這麼明顯，為什麼不能用來擇時？」 三個理由。（一）散點圖的縱軸是十年後 的報酬，訊號的時間解析度極差；（二）「合理的 CAPE 水準」本身會隨會計準則、利率、產業結構而漂移，1950 年的 20 倍跟 2020 年的 20 倍不是同一件事；（三）只有一次人生，而這張圖上每個點高度重疊（滾動視窗），有效獨立樣本大概只有十幾個。統計上幾乎無法從中得到可交易的信心。
「那有沒有比較溫和的用法？」 有：估值傾斜 （valuation tilting）。例如把股票比重設在目標值 ±10 個百分點之間，隨估值緩慢調整，而不是 0/100 的開關。伯恩斯坦本人的建議大致是這個量級。但要清楚：這是在用「未來報酬會回歸」這個假設換取一點期望值，代價是追蹤誤差與後悔風險。
12.1 其他估值指標，以及一個很流行的錯誤
指標 優點與陷阱 CAPE 濾掉景氣循環；但會受會計準則變動、產業結構（輕資產化）影響而向上漂移。直接拿 1950 年的平均值當錨是錯的。 市值／GDP（巴菲特指標） 直覺清楚；但分子含海外獲利、分母不含，全球化時代會系統性上升。對台灣這種高度外銷的經濟體尤其不適用。 Tobin’s q 有經濟學基礎（市值／重置成本）；但無形資產（品牌、軟體、專利）的重置成本幾乎無法測量。 股息殖利率 直接對應高登方程第一項；但回購取代股息後，單看殖利率會系統性低估期望報酬（§11 反駁欄）。 聯準會模型 （盈餘殖利率 vs 公債殖利率） 這一個是錯的。 它把名目 公債殖利率拿來跟實質 盈餘殖利率直接比，犯了「通膨幻覺」（Modigliani–Cohn）。高通膨時它會說股票很便宜（例如 1979 年），低通膨時說很貴。實證上它對十年報酬幾乎沒有預測力。
聯準會模型值得多講一句，因為它每次升息循環都會在媒體上重現（「公債 5%，股票盈餘殖利率才 3%，股市太貴了」）。問題在於：公司的盈餘會跟著通膨成長，公債的票息不會。拿一個會跟通膨成長的現金流，去跟一個不會的直接比殖利率，就像拿月薪跟存款餘額比大小。正確的對照組是抹通膨公債（TIPS）的實質殖利率。
12.2 相對估值：價值價差
同樣的邏輯可以用在因子上。價值價差（value spread）衡量成長股與價值股之間的估值差距。它在大蕭條與網路泡沫時衝到極端，而這兩次之後價值股都有極強的表現。
價值價差：最高與最低淨值市價比十分位的比值 折線圖。橫軸為年份，縱軸為最高 BE/ME 十分位的平均淨值市價比除以最低十分位的平均值。數字愈大代表成長股相對愈貴。全期間平均 17.0，最新值 30.0（2025 年）。三個高峰：1933 年 52.4、1932 年 44.5、1931 年 41.6。 0 10 20 30 40 50 1940 1960 1980 2000 2020 全期間平均 17.0 1933 1932 1931 年 價值價差（倍） Yu Lab · yulab.tw 圖 12-3 價值價差：最高與最低淨值市價比十分位的比值，最新值 30.0（2025 年）。數字愈大代表成長股相對愈貴；圖上標的三個高點由資料本身決定，虛線是全期間平均。 資料來源：Kenneth R. French Data Library，Portfolios Formed on BE/ME 的組合平均淨值市價比。 指標 全期間平均 1932 年 2000 年 2020 年 2021 年 2025 年 價值價差（最高／最低 BE/ME 十分位） 17.0 44.5 31.9 24.0 33.2 30.0
定義：最高 BE/ME 十分位的組合平均淨值市價比，除以最低十分位的組合平均值。數字愈大代表成長股相對愈貴。
本表只列一個定義明確、樣本可查、可以自行重算的指標。
用這個定義，2020 年是 24.0，仍低於 2000 年的 31.9。真正超過 2000 年的是 2021 年的 33.2。近年的價值價差回到網路泡沫等級，但超過 2000 年的年份不是 2020 年。
完整序列也顯示：真正的歷史極值不在 2000 年，而在 1930 年代。
表 12-1 成長／價值的相對估值倍數。獨立重算後要更正一個年份：2020 年（24.0）並沒有超過 2000 年（31.9），真正超過的是 2021 年（33.2）。「近年的價值價差回到網路泡沫等級」這個結論成立，年份不對。歷史極值其實在 1930 年代，不在 2000 年。 資料來源：Kenneth R. French Data Library，Portfolios Formed on BE/ME。 12.3 把長期報酬拆成三項：估值到底進到哪一項
前兩節講的是「估值指標怎麼讀」。這一節要問一個更前面的問題：估值究竟以什麼方式進入期望報酬？ 把第 11 章的高登方程式重排一次，答案就清楚了。一段期間內的總報酬只能來自三個地方——收到的現金、公司賺的錢變多了、以及別人願意為同樣的盈餘多付（或少付）錢。
三項分解（building-block 形式）
價格恆等式：P H P 0 = E H E 0 × m H m 0 \frac{P_H}{P_0} = \frac{E_H}{E_0} \times \frac{m_H}{m_0} P 0 P H = E 0 E H × m 0 m H
兩邊取年化，加上期間收到的現金：
E [ R ] 實質 ≈ 收益率 + g 實質 + [ ( m H m 0 ) 1 / H − 1 ] \mathbb{E}[R]_{\text{實質}} \approx \text{收益率} + g_{\text{實質}} + \left[\left(\frac{m_H}{m_0}\right)^{1/H} - 1\right] E [ R ] 實質 ≈ 收益率 + g 實質 + [ ( m 0 m H ) 1/ H − 1 ] 名目報酬再加上預期通膨 π。三項的性質完全不同：收益率 今天就能觀測；g 是實質經濟量，長期落在一個窄區間；估值項 是唯一與「現在貴不貴」直接相關的一項，也是唯一需要對未來倍數做假設的一項。
這個分解一次解決了兩個常見的混淆。第一，「股票歷史年化 8–10%」不是一個可以套在任何起始估值上的常數：歷史報酬裡含有一段估值上升的貢獻，而那一段是一次性的 ，不會自動重複。第二，估值項以 1/H 稀釋——同樣一次倍數回歸，攤在十年是每年好幾個百分點，攤在三十年幾乎看不見。這解釋了為什麼估值對十年期的財務規劃 影響很大，對三十年期的累積計畫 影響有限。
對應 §12.3
這是一個需要 JavaScript 的互動模型。它背後的公式在正文裡都推導過， 關掉 JavaScript 不會漏掉任何結論。
現在可以回答一個經常被誤解的問題：既然期望報酬會隨估值變動，那「固定 60/40」是不是錯的？不是，但它的正當理由跟很多人想的不同。 固定比例的功能是風險預算 ——它由自己的投資期限、可承受回檔、提領需求與財務目標決定（§19.1、§19.2），這些東西不會因為 CAPE 從 25 倍變成 40 倍而改變。固定比例並不宣稱「不論估值高低，股票的期望報酬都一樣」。
但反過來說，「估值完全不該影響配置」也不是理論的結論。回到第 8 章的最適曝險式子：
w ∗ = E [ R ] − r f γ σ 2 w^* = \frac{\mathbb{E}[R] - r_f}{\gamma\sigma^2} w ∗ = γ σ 2 E [ R ] − r f 在其他條件不變下，若股票的預期超額報酬下降，這條式子給出的最適比重就會下降。所以理論上的最適配置本來就不固定 ；只有在「期望報酬與波動皆為常數」的特例下才固定。討論估值如何影響配置之前，先回答下面這個定量問題：
§12.4 處理可靠度，§12.5 處理「基準本身會動」，§12.6 把訊號換成正確的決策變數，§12.7 處理模型風險。實際的配置規則寫在 §19.6。
12.4 訊號能回答什麼、不能回答什麼
估值確實有預測力，麻煩在預測誤差非常大，而且誤差的形狀對擇時特別不利 。把可以問的問題排成一張清單，界線會很清楚：
想問的問題 估值能回答嗎 為什麼 未來十年的平均年化報酬大概落在哪個區間？ 部分可以 起始估值對十年報酬有明顯的解釋力，但單點預測的誤差帶寬達十個百分點以上（圖 12-2） 我該把長期規劃的報酬假設訂多少？ 可以 規劃需要的是分布，不是點；把分布整體下移一點是有依據的（§20.2、§20.7） 明年會不會跌？ 不行 一年期的解釋力接近零；估值高的年份裡上漲仍是多數 現在是不是高點？何時進入熊市？ 不行 估值是水位，不是時鐘。1996 年就已高於 1929 年的水準，高點在四年後 下跌前還會不會再漲很多？ 不行 見下面的算術：「先大漲、再多年低報酬」與「十年報酬偏低」完全相容
一個必須算過一次的算術
假設某模型說「未來十年年化 4%」。十年累積倍數 = 1.04 10 ≈ 1.48 \text{十年累積倍數} = 1.04^{10} \approx 1.48 十年累積倍數 = 1.0 4 10 ≈ 1.48
若前三年年化 +15%( 1.15 3 ≈ 1.52 ) (1.15^3 \approx 1.52) ( 1.1 5 3 ≈ 1.52 ) −0.4% ，整段就正好落在 4%。
也就是說：「現在估值很高」與「未來十年報酬偏低」可以同時成立，而中間完全不需要出現崩盤 ——只需要一段大漲，然後很多年不動。
最重要的反直覺：估值很高，不代表現在該減碼
「模型說未來十年只有 4%，所以我先出場」聽起來像是合理推論，但上面那段算術已經拆掉它了：「十年報酬偏低」和「先大漲三年」完全相容，中間不需要出現任何崩盤。 估值要說的是水位，不是時鐘。
歷史上最貴的一次也是這樣走的。1996 年美股的 CAPE 已經高於 1929 年的水準，市場高點卻在四年後 ，而那四年裡指數又漲了一倍以上。在 1996 年因為「估值太高」而出清的人，訊號讀得沒錯，決策卻付了很大的代價。
所以估值變貴時，先把自己對未來報酬的假設往下調 ——多存一點、把提領率訂低一點、把退休年限往後推一點。直接減碼需要連續猜對進場與出場兩次，改假設則幾乎沒有成本。
這正是大幅擇時困難的核心。把股票從 70% 降到 20%，需要兩個判斷都對：何時減、以及何時加回來 。第二個判斷通常更難，因為加回來的時點往往在市場氣氛最差、或在已經錯過一段漲幅、心理上最難按下按鈕的時候。把兩個獨立判斷串起來，正確率是相乘的。
還有一個容易被忽略的區分：訊號誤差 （模型估錯了期望報酬）與實現誤差 （期望報酬估對了，但十年只有一條路徑）。前者可以靠更好的模型與多模型平均改善（§12.7）；後者不能，因為它是 σ / H \sigma/\sqrt{H} σ / H
打個比方
估值像一段路的坡度 。坡度會決定長距離的平均車速——這是可靠的物理關係。但它不會說明下一公里會不會遇到紅燈、也不會說明哪一個彎道要煞車。看到坡度變陡就把車停在路邊等，並不會讓人更快到達；正確的反應是把預估到達時間往後改 ，也許順便換低速檔。
這個比喻在哪裡失真： 路的坡度可以直接量，而且「平地」的定義不會改變。估值不是這樣——同一個 CAPE 數字在不同的利率、稅制、會計與產業結構下，代表的貴或便宜程度並不相同。換句話說，這裡連「坡度為零」的基準線都會移動。這正是下一節的主題。
12.5 基準本身是變數：公允估值的概念
「現在 CAPE ÷ 歷史平均 CAPE」是最流行的高估幅度算法，而它隱含一個很強的假設：合理倍數是一個常數。 用高登方程式檢查這個假設，會發現它站不住腳。把倍數寫成折現率與成長率的函數：
m ∗ = 1 r 實質 − g 實質 m^* = \frac{1}{r_{\text{實質}} - g_{\text{實質}}} m ∗ = r 實質 − g 實質 1 取 g = 2%：r = 7.5% ⟹ m* ≈ 18× ；r = 6.5% ⟹ m* ≈ 22× ；r = 5.5% ⟹ m* ≈ 29× 。
實質折現率每差一個百分點，合理倍數就差四到七個倍數；兩個百分點的區間已經跨越 18× 到 29×。而 r = 實質無風險利率 + 股票風險溢酬——兩項都會隨時代改變。
會讓合理倍數移動的因素至少有六類：實質利率水準、通膨與通膨的不確定性、企業融資成本、稅制、可持續的實質盈餘成長率，以及投資人要求的風險溢酬。此外還有兩個純技術性的漂移來源：無形資產（研發、軟體、品牌）在會計上被當成費用而非資本支出，會系統性壓低帳面盈餘、推高倍數；以及回購取代股息，使殖利率型指標系統性低估股東報酬（§11 反駁欄）。
因此比「原始 CAPE ÷ 歷史平均」更完整的做法，是先估一個公允估值倍數 （fair-value multiple），再看目前的偏離程度：
相對估值 = 目前 CAPE / 公允 CAPE（以當期實質利率、通膨等條件推估）
Vanguard 的 fair-value CAPE 就是這個概念的實作：用實質利率、通膨等宏觀變數迴歸出「在目前條件下合理的倍數」，再以偏離幅度而非絕對水準來下結論。這個做法比拿百年平均當錨誠實，但它也帶進一個新的風險：公允估值模型可能把任何高估都解釋成合理的。 如果模型的解釋變數裡有一項正好在極端值（例如極低的實質利率），它會說明「現在的高倍數是合理的」，而這正是最需要懷疑的時候。兩個方向的錯誤都要標明：拿常數當基準會系統性高估風險，拿彈性模型當基準會系統性低估風險。
12.6 配置要看股票風險溢酬
前面幾節都在談股票自己貴不貴。但配置必須比較「相對於可以改持有的那個東西 ，股票值不值得」，單看股票的絕對估值還不夠。回到第 8 章：權重只透過 ( μ − r f ) / σ 2 (\mu - r_f)/\sigma^2 ( μ − r f ) / σ 2 透過這一項 才會影響配置。所以正確的決策變數是股票風險溢酬：
ERP = E [ R 股票 ] − E [ R 安全資產 ] \text{ERP} = \mathbb{E}[R_{\text{股票}}] - \mathbb{E}[R_{\text{安全資產}}] ERP = E [ R 股票 ] − E [ R 安全資產 ] 兩個情境足以說明為什麼絕對估值會誤導：
E[R 股票 R_{\text{股票}} R 股票 E[R 安全 R_{\text{安全}} R 安全 ERP 配置含意 情境 A 5% 1% 4% 股票的絕對報酬不高，但相對安全資產仍有充分補償 ⟹ 維持甚至提高股票比重 情境 B 6% 5% 1% 股票的絕對報酬更高 ，但承擔全部股票風險只多換到一個百分點 ⟹ 有理由降低股票比重
情境 B 的股票報酬比情境 A 高，但配置結論相反。這就是為什麼「P/E 很高所以減碼」是一個不完整的推論 ——它漏掉了另一邊。安全資產的期望報酬在 2020 年與 2026 年差了三、四個百分點，這件事對配置的影響，與股票估值變動的影響同一個量級。
計算 ERP 時有三個技術要求，違反任何一個，數字就沒有意義：
同幣別。 用台幣安全資產去減美元股票報酬，等於在 ERP 裡偷偷塞進一個匯率預測 E[Δs]（§19.9）。要嘛都換算成台幣（含避險成本），要嘛都用美元。同期間。 十年期的股票期望報酬要對十年期公債，不是對隔夜利率。安全資產的殖利率曲線是斜的，選錯期限可以憑空造出一兩個百分點。同實質／名目基礎。 用實質盈餘殖利率減名目公債殖利率，就是 §12.1 那個聯準會模型的錯誤（通膨幻覺）。要比名目就都名目，要比實質就用 TIPS 的實質殖利率。
配置該怎麼隨 ERP 移動，是第 19.6 節的內容——那裡有一個可以動手調的政策帶模型。這裡先記住一句話：ERP 是訊號，估值只是計算 ERP 的原料之一。
12.7 不要用一個模型取代一群模型
如果接受前面四節，下一個陷阱就在眼前：把主觀判斷換成「相信某一個模型」。這只是把行為風險換成模型風險，而且換得不划算——因為模型風險不會讓人緊張，所以不會對它設防。
比較穩健的做法是同時看幾個方法論彼此獨立 的框架，並且要求它們方向一致才允許動作：
框架 它的核心假設 它最可能錯在哪 宏觀迴歸型 公允估值 CAPE、VCMM 合理倍數是實質利率、通膨等變數的函數 解釋變數落在歷史極端值時，容易把高估合理化 基本面建構型 收益率＋成長＋回歸 倍數在 H 年內回到某個目標值（§12.3） 目標倍數與回歸速度都是外生假設，答案對它們極度敏感 透明基準 CAPE、CAEY = 1/CAPE 幾乎沒有假設，也幾乎沒有調整空間 忽略利率與結構漂移，在高利率或高通膨期會誤判
這件事在數學上不是「湊個平均」而已。多模型平均等於對模型不確定性 做收縮，與第 17 章對估計誤差做收縮是同一個貝氏動作：當每個模型都有偏誤而偏誤方向不同時，平均值的誤差變異數低於任何單一模型。實務上的操作規則可以很簡單：只有兩個以上方法論獨立的框架同向、且幅度相近時，才允許配置跨入下一個級距 （§19.6）。單一模型的極端讀數只允許更新報酬假設，不允許動配置。
CAPE 在這個結構裡有一個它最適合的角色：透明的合理性檢查 。它的公式所有人都能算、沒有調整空間，所以當它與另外兩類模型嚴重矛盾時，至少知道要去問「誰的假設比較奇怪」。這比把它當成擇時開關有用得多。
可能會有的反駁
「這不就是換一種主觀？反正門檻是自己訂的。」 差別在於訂的時間點 。事前訂好門檻、資料來源與檢查頻率，事後只能執行；主觀擇時是看到市場之後才決定要看哪個指標。兩者的期望報酬也許差不多，但後者的變異數包含了自己的情緒，而且無法事後驗證自己有沒有作弊。這是 §18.2 講的制度性對策，不是精確性的追求。
「機構的模型不是常常錯得很離譜嗎？」 是。十年期預測的事後誤差常達三、四個百分點（§12.4 的實現誤差）。這正是為什麼配置的反應係數必須遠小於一：模型有用不等於模型準。把 λ 設在 0.3 附近，意思是「我相信方向，但只相信三成的幅度」。
「如果三個模型都被同一個變數驅動，多模型不是假分散？」 完全正確，這是這一節唯一真正的技術風險。三個模型如果都以低實質利率為核心輸入，它們就是同一個模型的三個版本。判斷是否獨立的方法很粗暴但有效：問「哪一個變數改變會讓它們給出相反的答案」 。若答不出來，就把它們算成一個。
12.8 債券的期望報酬：YTM、久期與凸性
前面七節都在處理股票的期望報酬，而債券在這件事上有一個股票沒有的優勢：如果不違約，它的期望報酬幾乎是寫在合約上的。 這一節把那句話證明清楚，也把它的三個逃生口指出來。它同時是第 27 章（長債為什麼這麼慘）的數學前置。
定價恆等式與到期殖利率
一張面額 F、票面利率 c、剩餘 n 年、每年付息一次的債券，在折現率 y 下的價格是
P ( y ) = ∑ t = 1 n c F ( 1 + y ) t + F ( 1 + y ) n P(y) = \sum_{t=1}^{n} \frac{cF}{(1+y)^t} + \frac{F}{(1+y)^n} P ( y ) = t = 1 ∑ n ( 1 + y ) t c F + ( 1 + y ) n F 到期殖利率 （YTM）就是讓這條式子等於市價的那個 y。它不是「報酬率的預測」，它是這串現金流的內部報酬率（IRR） 。
命題 1（YTM 到底保證了什麼）。 若持有到期、且每筆票息都以 y 再投資，則年化報酬恰為 y。
證明。 期末財富為
W n = ∑ t = 1 n c F ( 1 + y ) n − t + F = ( 1 + y ) n [ ∑ t c F ( 1 + y ) t + F ( 1 + y ) n ] = ( 1 + y ) n P ( y ) W_n = \sum_{t=1}^{n} cF(1+y)^{n-t} + F = (1+y)^n\left[\sum_{t}\frac{cF}{(1+y)^t} + \frac{F}{(1+y)^n}\right] = (1+y)^n P(y) W n = t = 1 ∑ n c F ( 1 + y ) n − t + F = ( 1 + y ) n [ t ∑ ( 1 + y ) t c F + ( 1 + y ) n F ] = ( 1 + y ) n P ( y ) 故 ( W n / P ) 1 / n − 1 (W_n/P)^{1/n} - 1 ( W n / P ) 1/ n − 1
請注意證明用到的兩個條件：持有到期 與票息以 y 再投資 。兩者任一不成立，y 就不再是實現報酬——這正是「債券也有風險」的全部內容。
久期：斜率
定義每期現金流的現值權重 w t = PV t / P w_t = \text{PV}_t/P w t = PV t / P ( ∑ t w t = 1 ) \left(\sum_t w_t = 1\right) ( ∑ t w t = 1 ) Macaulay 久期 D ≡ ∑ t t w t D \equiv \sum_t t\,w_t D ≡ ∑ t t w t
命題 2。 d P d y = − P D 1 + y \frac{dP}{dy} = -P\,\frac{D}{1+y} d y d P = − P 1 + y D D ∗ ≡ D 1 + y D^* \equiv \frac{D}{1+y} D ∗ ≡ 1 + y D d P / d y P = − D ∗ \frac{dP/dy}{P} = -D^* P d P / d y = − D ∗
證明。 逐項微分：d d y [ CF t ( 1 + y ) − t ] = − t CF t ( 1 + y ) − t − 1 = − t 1 + y PV t \frac{d}{dy}\left[\text{CF}_t(1+y)^{-t}\right] = -t\,\text{CF}_t(1+y)^{-t-1} = -\frac{t}{1+y}\,\text{PV}_t d y d [ CF t ( 1 + y ) − t ] = − t CF t ( 1 + y ) − t − 1 = − 1 + y t PV t
d P d y = − 1 1 + y ∑ t t PV t = − P 1 + y ∑ t t w t = − P D 1 + y ■ \frac{dP}{dy} = -\frac{1}{1+y}\sum_t t\,\text{PV}_t = -\frac{P}{1+y}\sum_t t\,w_t = -P\,\frac{D}{1+y} \quad \blacksquare d y d P = − 1 + y 1 t ∑ t PV t = − 1 + y P t ∑ t w t = − P 1 + y D ■ 久期因此有兩個完全等價的讀法：時間 （現金流的平均等待年數）與敏感度 （殖利率變動 1 個百分點，價格大約變動 D* 個百分點）。這兩個讀法會在下面的免疫定理裡碰頭。
凸性：曲率
定義 C ≡ 1 P d 2 P d y 2 = ∑ t t ( t + 1 ) w t ( 1 + y ) 2 C \equiv \frac{1}{P}\,\frac{d^2P}{dy^2} = \frac{\sum_t t(t+1)w_t}{(1+y)^2} C ≡ P 1 d y 2 d 2 P = ( 1 + y ) 2 ∑ t t ( t + 1 ) w t
Δ P P ≈ − D ∗ Δ y + 1 2 C ( Δ y ) 2 \frac{\Delta P}{P} \approx -D^*\Delta y + \tfrac{1}{2}C(\Delta y)^2 P Δ P ≈ − D ∗ Δ y + 2 1 C ( Δ y ) 2 因為 C > 0（所有項都是正的），二階項永遠是正的 ：殖利率下跌時價格多漲一點、上升時少跌一點。這就是「凸性是持有人的朋友」的意思，也是為什麼單看久期會系統性高估大幅升息的損失。
免疫定理：久期的兩個讀法在這裡合流
命題 3。 設殖利率在買進後立刻由 y 平行移動並維持不變，投資人持有 H 年（票息以當時殖利率再投資），則期末財富可寫為 W ( H , y ) = P ( y ) ( 1 + y ) H W(H, y) = P(y)(1+y)^H W ( H , y ) = P ( y ) ( 1 + y ) H
∂ W ∂ y = ( 1 + y ) H − 1 P ( y ) ( H − D ) \frac{\partial W}{\partial y} = (1+y)^{H-1}P(y)(H - D) ∂ y ∂ W = ( 1 + y ) H − 1 P ( y ) ( H − D ) 證明。 ∂ W ∂ y = P ′ ( y ) ( 1 + y ) H + H P ( y ) ( 1 + y ) H − 1 \frac{\partial W}{\partial y} = P'(y)(1+y)^H + H\,P(y)(1+y)^{H-1} ∂ y ∂ W = P ′ ( y ) ( 1 + y ) H + H P ( y ) ( 1 + y ) H − 1 P ′ ( y ) = − P D 1 + y P'(y) = -P\,\frac{D}{1+y} P ′ ( y ) = − P 1 + y D ( 1 + y ) H − 1 P ( H − D ) ■ (1+y)^{H-1}P(H-D) \quad \blacksquare ( 1 + y ) H − 1 P ( H − D ) ■
推論（免疫）。 當 H = D 時一階效應為零：殖利率上升造成的價格損失，恰好被較高的再投資報酬抵消。H < D 時價格風險主導（升息受害）；H > D 時再投資風險主導（升息其實是好事 ）。
這條式子解決了一個常見的無效爭論。「殖利率上升對債券投資人是好事還是壞事」沒有普遍答案，答案是 sign(H − D) 。2022 年之後抱怨長債的人，多數是把 H ≈ 5–10 年的錢放進 D ≈ 17 年的工具（§27.3）；而同一次升息對一個為二十年後退休負債配置的人，是純粹的好消息。
對應 §12.8
這是一個需要 JavaScript 的互動模型。它背後的公式在正文裡都推導過， 關掉 JavaScript 不會漏掉任何結論。
YTM 作為期望報酬的三個扣項
① 違約與降評。 YTM 是承諾 報酬，不是期望報酬。期望報酬 ≈ YTM − 預期信用損失（違約率 × 損失率）− 信用風險溢酬中屬於「與股票同向」的那一部分（§8.2）。投資級公司債的預期信用損失小但不為零；高收益債可達每年 2–4 個百分點。
② 通膨。 名目 YTM 減去預期通膨才是實質期望報酬。TIPS／抗通膨公債直接報實質殖利率，這是它在負債配對上不可取代的原因（§19.3、§20.3）。
③ 非平行移動。 命題 3 假設殖利率曲線平行移動。實際上曲線會扭轉，此時單一久期不足以描述風險，需要關鍵利率久期。這也是「騎乘殖利率曲線」（rolldown）能貢獻報酬的來源：在正斜率曲線上，債券隨時間縮短剩餘年限而落到較低的殖利率點上，產生額外的價格利得。
把三項合起來，債券的期望報酬有一個與 §12.3 股票三項分解完全對稱的形式：
E [ R 債 ] ≈ YTM + 騎乘效應 − 預期信用損失 − 費用 \mathbb{E}[R_{\text{債}}] \approx \text{YTM} + \text{騎乘效應} - \text{預期信用損失} - \text{費用} E [ R 債 ] ≈ YTM + 騎乘效應 − 預期信用損失 − 費用 對照 §12.3 的股票版：E [ R 股 ] ≈ 股息率 + 實質成長 + 估值變動 + 通膨 \mathbb{E}[R_{\text{股}}] \approx \text{股息率} + \text{實質成長} + \text{估值變動} + \text{通膨} E [ R 股 ] ≈ 股息率 + 實質成長 + 估值變動 + 通膨 債券的第一項可觀察，股票的第三項不可觀察 ——這就是為什麼固定收益的期望報酬估計比股票可靠得多，也是為什麼把「歷史平均債券報酬」當成前瞻估計特別離譜（現在的 YTM 才是估計值）。
實務上要看的欄位就一個：存續期間 。附錄 E 的表 E-13 到 E-15 每一張都有這一欄，它決定了那支基金在利率變動下會發生什麼事，而它與自己的 H 的關係決定了那件事對是好是壞。
可能會有的反駁
「既然 YTM 就是期望報酬，那長債現在 5% 不是很好嗎？」 對「持有到期且期限與負債相符」的人是好事。但 5% 的名目 YTM 在 3% 通膨下是 2% 實質，而 D ≈ 17 的工具在通膨再升 2 個百分點時會先跌三成（§27.2）。好不好取決於能不能撐到那個 y 實現。
「久期不就是到期年數嗎？」 只有零息債券成立（此時 D = n）。有票息的債券 D < n，票息愈高、殖利率愈高，D 愈短——因為現金流的重心往前移。所以「同樣到期年數的兩支債券風險相同」是錯的。
「凸性愈高愈好？」 凸性不是免費的。市場會為凸性定價：兩支久期相同、凸性不同的債券，凸性高的殖利率通常較低。付出的是較低的持有報酬（carry），換到的是大幅波動時的保護——這與 §22.8 的選擇權論證是同一件事。