第三部 期望報酬能不能算出來
13 效率市場假說與主動管理的實證
13.1 三種形式
- 弱式：價格已反映所有歷史價格資訊 ⟹ 技術分析無效。
- 半強式：價格已反映所有公開資訊 ⟹ 基本面分析難以持續獲利。
- 強式：價格已反映所有資訊，含內線 ⟹ 幾乎確定是錯的。
但真正有力的論證其實不需要 EMH。Sharpe 在 1991 年的〈主動管理的算術〉給出一個純會計恆等式：
所有投資人的持股總和 = 市場組合。
被動投資人持有市場組合 ⟹ 主動投資人的總和也必定是市場組合。
因此：主動投資人的稅前、費用前總報酬 = 市場報酬。
扣掉較高的費用與交易成本後：主動投資人的平均淨報酬必定低於被動投資人。
這不是實證發現，是算術。它不依賴任何關於市場效率、投資人理性的假設。唯一的逃生口是「我是那個高於平均的主動投資人」，而這需要有人在另一邊當輸家。
13.2 實證：分布長什麼樣
方法與判斷
這是本次遷移中方法論改變最大的一張。圖說必須明確寫出「這是模擬的隱含分布，不是實際基金樣本」，並附上引用的公開統計。
方法與判斷
與 f13-01a 合併為一張「不同期間長度下的分布」小倍數圖，並顯示期間愈長左偏愈嚴重。
注意分布的形狀：不是對稱地散在 0 兩側，而是整體左移。左移的量大致就是費用率。這與 Sharpe 的算術完全一致。
| 觀察期 | 零技能下的期望比例 | 實際比例 | 備註 |
|---|---|---|---|
| 1 年後 | 25% | — | 需要基金層級的資料才能填 |
| 3 年後 | 25% | — | 需要基金層級的資料才能填 |
| 5 年後 | 25% | — | 需要基金層級的資料才能填 |
| 10 年後 | 25% | — | 需要基金層級的資料才能填 |
「實際比例」需要基金層級的報酬資料庫才能填。沒有公開、免費且可再散布的來源，因此這一欄刻意留白——填一個查不到出處的數字比留白更糟。
要自己驗證的話：S&P Dow Jones Indices 的 Persistence Scorecard 每半年公開發布一次，格式與這張表相同。把它的數字與左邊那一欄比較即可。
這張表真正的重點在左欄：如果績效完全不持續，比例應該是 25%。任何低於 25% 的實際值都不只是「沒有技能」，而是「成本讓贏家更難連莊」。
方法與判斷
改為原生表格 + 對照欄。原圖的基金樣本無法獨立重建，但「持續率 vs 隨機期望值」的對照比原圖更有說服力。
這張圖處理的是持續性問題。如果技能存在，前段班應該持續領先。實證上，除了「後段班會持續是後段班」（因為費用高、這個非常穩定）以外，前段班的持續性微弱到接近隨機。
13.3 運氣與技能：需要多少資料才分得出來
假設有一位經理人，每年打敗市場的機率是 p。若 p = 0.5（純運氣），在 35 年中他打敗市場的次數服從二項分配：
方法與判斷
完全由公式產生。改良：疊上「至少連續 k 年勝出」的機率標注，直接回答讀者心裡的問題。
要在統計上區分技能與運氣，需要的樣本長度大致是：
T ≈ (zα / IR)² ，其中 IR = 年化超額報酬 / 追蹤誤差
典型的 IR = 0.3、要 95% 信心（z ≈ 1.96）：T ≈ (1.96/0.3)² ≈ 43 年
四十三年。而一般基金經理人的任期是四到五年。這意味著在任何實務可得的時間尺度上，都無法事前分辨技能與運氣——這才是被動投資最強的論據，比 EMH 強得多。
方法與判斷
改良：加上「基金規模」第二軸，把「規模擴大 → 阿法衰退」的因果直接畫在同一張圖上。
麥哲倫的例子還帶出容量問題：即使技能是真的，它也有規模上限。資金湧入之後，超額報酬會被自己的市場衝擊吃掉。這對投資人是雙重打擊——只有在看到好績效之後才會投入，而好績效正是即將消失的訊號。
| 年 | 距 1976 年 | 發生了什麼 |
|---|---|---|
| 1976 | — | 第一檔面向散戶的指數型共同基金開始銷售 |
| 1993 | 17 年 | 美國第一檔 ETF 掛牌 |
| 2005 | 29 年 | 指數型共同基金淨資產 6,190 億美元 |
| 2010 | 34 年 | 指數型佔長期基金淨資產 19% |
| 2015 | 39 年 | 指數型佔長期基金淨資產 28% |
| 2020 | 44 年 | 指數型佔長期基金淨資產 40% |
| 2025 | 49 年 | 指數型首度過半，佔 52%（19.1 兆美元） |
從第一檔面向散戶的指數型基金問世，到指數型資產在美國長期基金中過半，中間隔了 49 年。這中間並沒有出現任何新的證據——該有的實證在 1970 年代就都在了。
想法的正確性和它被接受的速度，是兩件幾乎無關的事。這一點對照 §13 的其餘部分讀。
方法與判斷
改良：延伸到最新年度，並加上「指數化佔比」的第二條線。
| 文獻 | 樣本 | 衝高的時點 | 異常報酬 | 之後 | 出處 |
|---|---|---|---|---|---|
| Barber & Loeffler (1993) | 《華爾街日報》Dartboard 專欄的分析師選股 | 刊出後兩個交易日 | +4%（成交量約為平常的兩倍） | 25 個交易日內部分回吐 | Journal of Financial and Quantitative Analysis 28(2), 273–284 |
| Meschke (2002) | CNBC 的執行長專訪 | 播出當日 | +1.65% | 之後 10 個交易日 −2.78% | 工作論文，1999–2001 年樣本 |
| Engelberg, Sasseville & Williams (2012) | CNBC《Mad Money》的買進推薦 | 推薦後的隔夜 | +2.4%（全樣本）；最小市值五分位 +6.7% | 100 個交易日內降到 1% 以下 | Management Science 58(2), 351–364 |
三篇的樣本、期間與方法都不同，數字不能互相比較大小；能比較的是形狀——三篇都是「衝高，然後回吐」，而且回吐的幅度與衝高的幅度相當。
這一組數字取代的是原書那一條事件研究曲線。那條曲線的底層序列不公開，無法獨立重建；把三篇文獻的效果量並列，論點一樣成立，而且每一個數字都查得到。
注意 Engelberg 等人的最小市值五分位是 +6.7%——媒體效應在流動性最差、最難套利的股票上最大。這與「注意力驅動的買盤」這個解釋一致。
方法與判斷
改為 Yu Lab 自製的事件研究「結構示意圖」+ 逐篇文獻的效果量表格（幅度、樣本、期間、是否顯著）。以文獻證據取代單一張無法重建的曲線，並在圖說明確標示為示意。
方法與判斷
若最終無法取得授權明確的避險基金報酬序列，退而以「25/75 基準 vs 避險基金收費結構下的損益兩平所需毛報酬」的推導圖呈現同一結論，並在圖說揭露方法改變。
13.4 最大的一筆損失：投資人報酬缺口
到目前為止我們講的都是「基金的報酬」。但還有一個更大的漏洞：投資人實際拿到的報酬，長期低於他持有的基金的報酬。原因是資金加權：大部分的錢在績效好之後才進去，在績效差之後才出來。
兩種報酬的區別
時間加權報酬（TWR）：基金公告的那個數字，假設期初投入一筆、中間不進不出。
金額加權報酬（IRR）：把實際的申贖回現金流納入計算，才是投資人集體真正拿到的。
兩者的差距就是行為缺口（behavior gap）。多項長期研究估計它在每年 1–2 個百分點，而在波動愈大、主題愈鮮明的基金上愈大（產業型、槓桿型可達 4–8 個百分點）。
請把這個數字跟其他成本放在一起排序：市值型指數 ETF 的內扣約 0.05–0.4%；主動基金約 1–2%；而行為缺口可以比兩者都大。這是為什麼全書花了那麼多篇幅講行為與制度（§18）：省下的費用是公式算得出來的，損失的紀律是公式算不出來的。
也請注意這個現象對第六部的意義：一個期望報酬稍低、但能一直抱著的策略，常常實際交到手上的報酬更高。這不是安慰話，是 IRR 與 TWR 的差額在說話。
13.5 一個要誠實面對的例外：市場效率不是均勻的
前面四節看起來像是一面倒的被動投資宣傳。但有一個修正必須說清楚：Sharpe 的算術是對「全體」成立的，不是對每一個市場區塊都同等成立。它說的是「主動投資人的平均必定輸」，並沒有說「每個市場的離散度都一樣」。
| 市場區塊 | 主動勝率 | 為什麼 |
|---|---|---|
| 美國大型股 | 極低 | 分析師密度全球最高，資訊瞬間反映 |
| 新興市場小型股 | 較高 | 資訊取得成本高、法人參與少。但交易成本也高，兩相抵銷後優勢有限 |
| 高收益債、嚴選債 | 較高 | 指數化難（流動性差），指數本身有結構缺陷（發債愈多權重愈高） |
| 非公開市場 | 離散度極大 | 前段班與後段班差距可達年化十幾個百分點，但一般人拿不到前段班的額度 |
這張表的實務含意，不是「去新興市場小型股找主動基金」，而是一個更沙的結論：即使在主動勝率較高的區塊，仍然面對 §13.3 的問題——沒有人事先知道誰是那個有本事的人。勝率較高只意味著分布的中心向右移一點，不代表能事前挑到右尾的人。
真正誕生的實用建議只有一條：把主動的部位限制在核心之外（不超過 10–20%），且只在能說出結構性理由的區塊裡。這也是第 24 章「核心–衛星」建議的來源。
13.6 回測不是時間機器：歷史證據的使用說明
本書到目前為止很少放回測，這是刻意的：先知道為什麼，再去看歷史是不是這樣。但讀者離開這份文件之後，每天都會碰到長這樣的東西：「2000–2026 回測，策略 A 年化 14.8%，市值型只有 10.2%，而且最大回檔還比較小。」這一節不是要多放幾張回測圖，而是要回答一個更前面的問題：一張回測到底能證明什麼、不能證明什麼，以及怎麼看出它有沒有作弊。
先把四種證據分開。它們回答的是不同的問題，不能互相取代，也不能互相冒充：
| 證據種類 | 它回答的問題 | 最適合的題目 | 它絕對不能回答的 |
|---|---|---|---|
| ① 數學 | 假設成立時，結果必然是什麼？ | 組合變異數、幾何平均、槓桿衰減、分散上限 | 假設本身對不對 |
| ② 歷史實證 | 真實世界過去是不是大致符合模型？ | 風險溢酬是否存在、因子能不能跨國複製 | 任何單一路徑的必然性 |
| ③ 回測 | 把一套明確規則放進這段真實歷史，實際經歷會是什麼？ | 最大回檔、回本時間、轉倉率、稅與費、序列風險、槓桿路徑 | 哪一種規則未來比較好 |
| ④ 蒙地卡羅 | 若未來不是重播歷史，而只是統計性質類似，還可能出現哪些路徑？ | 提領失敗率、破產機率、終端財富分佈 | 模型假設以外的世界 |
三句話記住它們的分工：理論說明為什麼，回測說明實際曾經長怎樣，蒙地卡羅說明還有多少沒看過的路徑。只有歷史完全不行，因為只有一顆地球的一段歷史；只有蒙地卡羅也不行，因為它完全被模型假設綁住（§20.3）。
回測最沒價值的用法：比 CAGR
「A 的年化 12.7%、B 的 10.9%，所以 A 比較好」——這是回測價值最低的用法，因為只要換起始年份、結束年份、市場、費用、再平衡日期或因子定義，結果常常就反過來。回測最高的價值在另一邊：把理論說的機制具體化——把「幾何平均低於算術平均」這句話，變成一張看得見的回檔曲線；把「序列報酬風險」變成 1966 年退休的那個人的帳戶。
十個坑（看到一張回測時依序檢查）
| 偏誤 | 它怎麼發生 | 要問的一句話 |
|---|---|---|
| 樣本內過擬合 | 參數是在同一段資料上選出來的 | 這些參數是什麼時候決定的？ |
| 前瞻偏誤 | 用了當時還沒公布的資料（財報有延遲、指數成分有審查期） | 當天真的拿得到這個數字嗎？ |
| 存活者偏誤 | 下市、清算、合併的標的掉出資料庫 | 消失的那些標的在哪裡？ |
| 選擇偏誤 | 起訖年份剛好選在對策略有利的點 | 換成前後五年起算，結論還在嗎？ |
| 多重檢定 | 試了幾萬種設定，只報告最好的那一條 | 一共試了幾條？（見下方模型） |
| 參數最佳化 | 把參數調到最高點，而最高點周圍很陡 | 參數動 ±20%，結果掉幾成？ |
| 交易成本 | 沒扣手續費、價差、衝擊成本，高轉倉策略尤其致命 | 年轉倉率多少？扣了什麼？ |
| 稅與融資成本 | 股利稅、資本利得稅、借款利差未計入 | 稅後還剩幾個百分點？ |
| 體制依賴 | 整段樣本只含一種利率或通膨環境 | 換一個利率體制還成立嗎？ |
| 實作落差 | 假設每日收盤可以無摩擦成交、標的有足夠流動性 | 這些單子真的成交得了嗎？ |
多重檢定：為什麼「夏普 2.1」可能一點都不驚人
這是十個坑裡最重要、也最容易用數字講清楚的一個。假設掃描均線長度 10–300（291 種）、停損 5%–30%（26 種）、進場條件 100 種，實際上測了：
291 × 26 × 100 = 756,600 種策略
若每條策略的真實夏普都是零，每條回測夏普的估計誤差約為 1/√T（T 為年數）。N 條嘗試中最大值的期望值約為：
E[max SR] ≈ (1/√T) · [(1−γ)Φ−1(1−1/N) + γΦ−1(1−1/(Ne))]
其中 γ ≈ 0.577 為 Euler 常數。粗略估計則是 √(2 ln N) / √T：在十年資料上試一萬條純雜訊的策略，最好的那條平均會給出將近 1.3 的年化夏普。
來源：Bailey & López de Prado〈The Deflated Sharpe Ratio〉（2014）；Harvey, Liu & Zhu〈…and the Cross-Section of Expected Returns〉（2016）。
這就是 Bailey 與 López de Prado〈縮減夏普比率〉的核心：研究者只報告正面結果（選擇偏誤），而不控制一項發現用了多少次嘗試，就會導致過度樂觀的績效預期；縮減夏普比率同時修正多重檢定下的選擇偏誤與非常態分配。同一個邏輯也是因子文獻提高門檻的理由：Harvey 等人回顧「因子動物園」後建議，新因子應該要求 t 統計量跨過 3.0 而非慣例的 2.0，因為已經有數百個因子被測試過。
下面的模型把這個關係畫出來。請特別注意：夏普的可信門檻不是固定的，它隨試過幾條而上升。
走前驗證：只能用當時真的知道的資料
對抗過擬合的標準做法是走前驗證（walk-forward）：用 1970–1990 選參數，拿 1991–2000 驗證；再用 1980–2000 重估，拿 2001–2010 驗證；以此類推。這不只是統計技巧，而是把全書反覆強調的一件事制度化：站在當時，而不是站在今天看過去。一張回測圖最常見的問題，不是它用錯公式，而是它的設計者在 2026 年知道 1999 年的人不可能知道的事。
證據強度階梯
這張階梯與 §10.3 判斷因子的四道門檻是同一件事，只是這裡把它寫成通用形式。實務上的用法很粗暴：看到一張回測，先問它在這張階梯的哪一層，再決定要不要繼續讀下去。
哪些題目適合用哪種證據
| 主題 | 最適合的方法 | 本文位置 |
|---|---|---|
| 報酬與變異數公式 | 純數學（回測反而有害） | §5、§6 |
| 分散化 | 數學 + 歷史案例 | §14 |
| CAPM 與因子 | 理論 + 跨國學術實證（不是自己跑一段回測） | §9、§10 |
| 估值與預期報酬 | 滾動歷史迴歸，且必須報告誤差帶 | §12.3–§12.7 |
| 再平衡頻率 | 數學 + 回測（結論是「沒有最佳項」） | §15.3 |
| 單筆 vs 分批 | 理論 + 滾動回測的分佈，不只看平均 | §21.5 |
| 創新高進場 | 理論 + 條件式歷史檢定 | §22.3之後 |
| 提領率 | 歷史情境 + 蒙地卡羅（兩者都要） | §20 |
| 槓桿與正二 | 數學 + 合成路徑回測（非商品成立以來績效） | §25.7之後 |
| 當下市況 | 情境分析；不可回測最佳化 | §26.5 |
PART IV
13.7 檢定力的算術：為什麼「證明不了」與「不存在」不是同一件事
§13.3 用 T ≈ (zα/IR)² 算出「要四十三年」。那個算式只處理了第一類錯誤（把運氣誤認為技能）。真正的問題還有另一半：第二類錯誤——技能是真的，而自己的資料看不出來。這一節把兩半都算完，因為結論會影響怎麼讀這份書裡所有的實證主張，包括支持因子溢酬的那些。
夏普比率估計量的標準誤
設超額報酬 iid，ŜR = μ̂/σ̂。以 delta method 展開（Lo, 2002, Financial Analysts Journal）：
SE(ŜR) ≈ √[ (1 + ŜR²/2) / T ]
推導要點。Var(μ̂) = σ²/T，Var(σ̂²) = 2σ⁴/T，且在常態下 μ̂ 與 σ̂² 獨立。對 g(μ, σ²) = μ/√σ² 取梯度，∂g/∂μ = 1/σ、∂g/∂σ² = −μ/(2σ³)，代入 Var ≈ (∂g/∂μ)²Var(μ̂) + (∂g/∂σ²)²Var(σ̂²) 得 (1/σ²)(σ²/T) + (μ²/4σ⁶)(2σ⁴/T) = (1 + SR²/2)/T。∎
兩個直接推論：檢定統計量 t = ŜR·√T（所以年數只以平方根進來）；且 SR 愈高，估計的絕對誤差愈大——精確度不會隨績效變好。
把 β 誤差加進去
要求（一）虛無為真時誤判機率 ≤ α，（二）真實資訊比為 IR 時偵測機率 ≥ 1−β，所需樣本長度為
T* ≈ [ ( zα + zβ·√(1 + IR²/2) ) / IR ]²
以 IR = 0.3、α = 5%（單尾 z = 1.645）、檢定力 80%（zβ = 0.842）：T* ≈ [(1.645 + 0.880)/0.3]² ≈ 71 年。只求「顯著」是 30 年，要有八成機會看見它是 71 年。
| 真實資訊比 IR | 只求 5% 顯著 | 加上 80% 檢定力 | 現實裡有這麼長的紀錄嗎 |
|---|---|---|---|
| 0.20（多數「不錯」的經理人） | 68 年 | 159 年 | 沒有 |
| 0.30（很好） | 30 年 | 71 年 | 幾乎沒有 |
| 0.50（頂尖） | 11 年 | 26 年 | 極少數，且通常已封閉 |
| 0.80（傳奇） | 4 年 | 11 年 | 有，事後才知道 |
這張表的第三欄是本節的重點。基金經理人的典型任期比「看得見技能」所需的時間短一個數量級。不是判斷得不夠準，是在用一個沒有解析度的工具做判斷。
最小追蹤紀錄長度與多重檢定
Bailey 與 López de Prado（2012）把上式推廣到非常態的情形，得到最小追蹤紀錄長度：MinTRL = 1 + [1 − γ3ŜR + (γ4−1)/4 · ŜR²]·(zα/ŜR)²，其中 γ3 是偏態、γ4 是峰態。方向很清楚：負偏態（賣選擇權式的策略）與厚尾都會拉長所需年數。那些「連續七年正報酬」的收益增強策略，正是負偏態最嚴重的一類，所需的證據長度也最長。
然後把 §13.6 的多重檢定接上來。若同時（或先後）檢驗 N 條策略，控制整體誤判率需要 α′ = 1 − (1−α)1/N（Šidák）；門檻 ŜR* = zα′/√T 隨 N 上升。上面的模型可以直接調 N：在 T = 10 年、試過 100 條的情境下，可信門檻大約要 1.0 以上的夏普——而幾乎所有對外銷售的回測夏普都落在 0.8–1.5 這個區間，這件事本身就是答案。
把這把尺對準自己
誠實的作法是把同一把尺用在相信的東西上。價值溢酬（§10）在近百年的美國資料上，資訊比大約 0.2–0.3，樣本九十餘年——剛好落在「勉強看得見」的區間，而且對子期間極度敏感。這不是拋棄因子的理由，但它說明為什麼：（一）合理的因子傾斜幅度應該小；（二）Fama–French（2010）與 Barras–Scaillet–Wermers（2010）在扣費後幾乎找不到正 alpha 的比例；（三）任何人說明「這個因子已經失效」或「這個因子必然回來」，在統計上都超出了資料能支持的範圍。