Yu Lab
全書目次

第一部　語言與基礎

2　報酬的語言

2.1　單期報酬

一期的簡單報酬定義為期末財富除以期初財富再減一：

Rt = (Pt + Dt − Pt−1) / Pt−1

分子裡的 Dt 是這期領到的股息。這一項常被忽略，但它在長期報酬裡的份量大得驚人——後面第 11 章會看到，長期股票報酬的主體其實就是股息殖利率加上股息成長率。

2.2　算術平均與幾何平均：最容易被騙的地方

假設某資產第一年 +50%、第二年 −50%。算術平均是 0%，但這筆錢從 100 變成 150 再變成 75，實際上少了 25%。幾何平均（也就是年化報酬、CAGR）才是描述財富真正變化的數字：

g = [ ∏t=1..T (1 + Rt) ]1/T − 1

兩者的關係可以近似推導。令 rt = ln(1+Rt) 為對數報酬，則 T 期的總對數報酬就是各期相加，這是對數報酬最方便的性質。對 ln(1+R) 在 R = μ 附近做二階泰勒展開：

ln(1+R) ≈ ln(1+μ) + (R−μ)/(1+μ) − (R−μ)² / [2(1+μ)²]

取期望值：E[ln(1+R)] ≈ ln(1+μ) − σ² / [2(1+μ)²]

當 μ、σ 都不大時：g ≈ μ − σ² / 2

這條式子叫做波動拖累（volatility drag），是全書最重要的公式之一。它說：在相同的算術期望報酬下，波動愈大，實際拿到的複利報酬愈低，而且損失的量正比於變異數的一半。第 15 章的再平衡、第 25 章的槓桿 ETF，都是這條式子的直接應用。

對應 §2.2計算核心 src/lib/finance/portfolio.ts · geometricReturn

請務必在上面那個模型裡做一次這個實驗：把 σ 從 20% 拉到 40%，看拖累從 2.0% 跳到 8.0%。波動翻倍，拖累變四倍。這條平方關係會在整份書裡反覆出現，它是第 15 章再平衡溢酬的來源，也是第 25 章槓桿 ETF 長期落後的全部原因（槓桿 k 倍把 σ 變成 kσ，於是拖累變成 k² 倍）。第 25.1 節那條看起來很嚇人的公式，其實只是這一行的直接代入。

2.3　名目、實質與稅後

真正重要的是實質報酬。精確關係是 (1+R實質) = (1+R名目)/(1+i)，近似為 R實質 ≈ R名目 − i。長期而言，通膨是股票投資人最大的單一敵人，也是債券投資人的致命傷——下面這張圖是德國 1920–1923 年惡性通膨期間，債券持有人與股票持有人的實質財富變化。

德國惡性通膨期間，名目票券與股票的實質購買力折線圖，縱軸為對數刻度。兩條線是 1913 年投入 1 元之後的實質購買力：一條是名目「安全」的短期票券，一條是股票。到 1924 年，票券只剩 1.3e-1% 的購買力——實質上等於歸零；股票剩 28%，重創但沒有消失。物價在 1929 年達到 1913 年的 1.6e+12 倍。惡性通膨1e-62e-65e-61e-52e-55e-51e-42e-45e-41e-32e-35e-30.010.020.050.100.200.501.002.001914191619181920192219241926192819301913 年的購買力股票（實質）短期票券（實質）年實質購買力（1913 = 1，對數刻度）
股票（實質）短期票券（實質）
圖 2-1德國惡性通膨（1913–1930）：名目「安全」的短期票券，實質購買力剩下 1.3e-1%——等於歸零。股票同樣被重創，但沒有消失，因為它背後是實體資產。「名目安全」與「實質安全」是兩件不同的事，這是最極端的證明。資料來源：Jordà–Schularick–Taylor Macrohistory Database（德國的 CPI、股票總報酬與票券利率）。
方法與判斷

原圖的「財富」序列來源未標明。改用可查證的物價與股價指數，並把「票券」與「股權」兩條線分開畫，論點更清楚。

跨國來看，長期實質報酬的排序相當穩定：股票 > 債券 > 短期票券。下圖是二十餘個國家一世紀以上的實質年化報酬。注意兩件事：第一，幾乎所有國家股票都贏；第二，債券與票券在多個國家是負的。「持有現金很安全」這句話在百年尺度上是錯的。

各國長期實質年化報酬：股票、債券、票券分組橫條圖。16 個國家，每個國家三根：股票、債券、票券的實質年化報酬。股票在每一個國家都排第一。票券在 6 個國家為負（芬蘭、日本、德國、義大利、法國、葡萄牙）——名目上「安全」的資產長期實質報酬可以是負的。橫軸最左端為 −4%；德國公債的 −14.1% 超出這個範圍，畫成截斷。期間為 1870–2020。−4%−4%−2%−2%0%0%2%2%4%4%6%6%8%8%澳洲7.2%1.8%1.9%美國6.8%2.5%2.1%丹麥6.5%3.1%2.7%瑞典6.3%2.7%1.5%英國5.3%1.8%1.0%荷蘭5.1%2.3%1.1%芬蘭5.0%1.5%−0.6%瑞士4.9%2.0%1.4%日本4.8%−0.3%−2.0%德國4.2%−14.1%−2.4%挪威3.9%2.1%0.8%西班牙3.6%1.0%0.4%比利時3.3%2.4%1.1%義大利2.4%0.5%−0.4%法國1.1%0.0%−0.8%葡萄牙0.9%1.5%−0.5%

德國公債 −14.1%　超出橫軸範圍，長條在左緣截斷（剖斷符號），數值以標示為準。

股票債券票券
圖 2-2各國長期實質年化報酬。股票在每一個國家都排第一（最高 澳洲 7.2%，最低 葡萄牙 0.9%），而票券在 6 個國家為負。原圖來自授權不允許再製的年鑑；這裡改用公開的 JST 學術資料庫重算。資料來源：Jordà–Schularick–Taylor Macrohistory Database，1870–2020。逐年以當國 CPI 平減後幾何年化。
方法與判斷

原圖為 Dimson–Marsh–Staunton 年鑑資料，授權不允許再製。JST 是公開學術資料庫、可引用可重算，且提供房地產報酬，教學價值更高。

2.4　報酬的三個扣項：費用、稅負、行為

台灣註記　本節的「稅負」扣項在台灣有明確的數字：股利的有效稅率是 (t − 8.5%) 或 28%，另加二代健保補充保費 2.11%；證券資本利得停徵；海外所得有 750 萬元的基本所得額扣除。完整推導與四條投資路徑的年化漏損比較見 §37，可代入自己數字的模型見 §37.5。

到目前為止我們講的都是「市場給了多少」。但拿到的是市場給的數字減掉三項扣項，而且三項都是確定的——這一點非常重要，因為報酬本身是不確定的。

自己的實質報酬 = 市場報酬 − 通膨 − 費用 − 稅 − 行為缺口

以合理的量級代入：名目 7% − 通膨 2.5% − 費用 1.5%（主動基金）− 稅 0.5% − 行為缺口 1.5%（§13.4）= 1.0%

換成低成本指數：7% − 2.5% − 0.15% − 0.3% − 0.5% = 3.55%

兩者差 2.55 個百分點。三十年複利下，這是 2.1 倍的財富差距。

這個拆解在整份書裡會反覆出現，而且它是判斷任何產品的第一道測試。因為市場報酬那一項完全不能控制，而後四項都能控制。花十年去研究「下一波什麼會漲」的人，往往不願花一個下午把自己的內扣費用算一遍。