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第二部　組合的數學

10　三因子、五因子與迴歸的讀法

Fama 與 French 在 1992 年之後的一系列論文指出：把「規模」與「淨值市價比」加進迴歸，可以解釋掉 CAPM 留下的大部分殘差。模型變成：

Ri − rf = αi + bi(RM − rf) + si·SMB + hi·HML + εi

SMB（Small Minus Big）是小型股減大型股的報酬差，HML（High Minus Low）是高淨值市價比（價值型）減低淨值市價比（成長型）的報酬差。後來的五因子模型再加上獲利能力（RMW）與投資保守度（CMA）。

因子期間年數算術平均幾何年化標準差t 值
市場（Mkt−RF）1927–2025998.86%6.84%20.13%4.38
市場（Mkt−RF）1927–1975498.46%5.77%23.43%2.53
市場（Mkt−RF）1976–2000259.42%8.43%14.62%3.22
市場（Mkt−RF）2001–2025259.09%7.37%18.47%2.46
規模（SMB）1927–2025992.50%1.67%13.32%1.86
規模（SMB）1927–1975493.52%2.45%15.47%1.59
規模（SMB）1976–2000251.97%1.23%12.32%0.80
規模（SMB）2001–2025251.02%0.61%9.48%0.54
價值（HML）1927–2025994.23%3.07%15.23%2.76
價值（HML）1927–1975495.23%4.33%13.87%2.64
價值（HML）1976–2000256.29%4.97%16.79%1.87
價值（HML）2001–2025250.22%−1.18%16.03%0.07

SMB 與 HML 是多空價差，不是可持有的部位。「幾何年化」在數學上算得出來，但沒有人能拿到那個報酬——列出來是為了與其他文獻對照。

報酬為年頻（1 月到 12 月複利）。t 值假設各年獨立，實際上報酬有輕微序列相關，因此這裡的 t 值略微樂觀。

表 10-1三個因子的年化溢酬。全期間（1927–2025）幾何年化：市場 6.84%、規模 1.67%、價值 3.07%。把樣本切成三段之後，規模與價值的溢酬在 2001 年之後大幅縮水——這正是下一張圖要展開的問題。資料來源：Kenneth R. French Data Library，年度三因子（1927–2025），由 Yu Lab 自行計算。
方法與判斷

獨立重算得 1926–2021 幾何年化：市場 6.84%、SMB 2.12%、HML 3.12%（標準差 20.2/13.4/15.2）。市場與原表吻合，SMB／HML 有差距，且原表的標準差看似以月資料年化。已於審計中記錄；本書改採自算值並標明算法（年資料、幾何年化）。

正文引用了這張圖裡的具體數字。改資料來源時，正文必須同步核對。

但把樣本切開來看，故事就沒那麼乾淨了：

因子年化溢酬對起始年的敏感度折線圖。橫軸為起始年 1927 到 2015，縱軸為「從該年算到 2025 年」的幾何年化溢酬。三條線分別是市場、規模與價值因子。曲線起伏劇烈——起始年只差一年，年化溢酬就可能相差好幾個百分點。落差最大的一次出現在 市場（Mkt−RF）：起始年由 2008 改成 2009，年化溢酬從 9.82% 變成 13.61%。−4%−2%0%2%4%6%8%10%12%14%193019401950196019701980199020002010市場（Mkt−RF）規模（SMB）價值（HML）起始年（一律算到 2025 年）幾何年化溢酬
表 10-3（同上圖）原書用兩張並排的表達成這個論點；一條完整的敏感度曲線可以同時回答「差多少」與「多常發生」。資料來源：同上。
方法與判斷

與 f10-t2 合併為一張「每一個起始年到 2025 的年化溢酬」曲線圖，論點更強且完全可重現。

正文引用了這張圖裡的具體數字。改資料來源時，正文必須同步核對。

因子年化溢酬對起始年的敏感度折線圖。橫軸為起始年 1927 到 2015，縱軸為「從該年算到 2025 年」的幾何年化溢酬。三條線分別是市場、規模與價值因子。曲線起伏劇烈——起始年只差一年，年化溢酬就可能相差好幾個百分點。落差最大的一次出現在 市場（Mkt−RF）：起始年由 2008 改成 2009，年化溢酬從 9.82% 變成 13.61%。−4%−2%0%2%4%6%8%10%12%14%193019401950196019701980199020002010市場（Mkt−RF）規模（SMB）價值（HML）起始年（一律算到 2025 年）幾何年化溢酬
表 10-2因子溢酬對起始年的敏感度：每一點是「從該年算到 2025 年」的幾何年化溢酬。價值因子最極端的一次是起始年從 2000 移到 2001，年化從 0.30% 變成 −1.18%；規模因子則是 2003 移到 2004，從 −0.22% 變成 −1.28%。在網路上看到的任何「因子年化超額報酬 X%」，都要先問「哪一段期間」。資料來源：Kenneth R. French Data Library，年度三因子，由 Yu Lab 自行計算。
方法與判斷

❗原本書把表 10-2 與 10-3 的圖檔對調了（fig/20 是 1989 起、fig/19 是 1990 起，但 caption 相反）。另：獨立重算完全無法複製 +7.33%→+1.85% 的落差（自算為 −0.27%→−0.13%）。因此改以「起始年敏感度曲線」呈現同一個論點，見 note-10-2。

正文引用了這張圖裡的具體數字。改資料來源時，正文必須同步核對。

請仔細比較這兩張表：起始年只差一年，小型股因子從 +2.17% 變成 −0.44%，價值因子從 +7.33% 變成 +1.85%。這是理解因子投資最重要的一課——因子溢酬的估計值對樣本期間極度敏感。在網路上看到的任何「因子年化超額報酬 X%」，都要問一句「哪一段期間」。

規模與價值因子的 20 年滾動年化溢酬折線圖。橫軸為年份，縱軸為過去 20 年的幾何年化溢酬。兩個因子都經歷過長期為負的階段：規模因子最長連續 9 年（1998–2007）為負，價值因子最長連續 6 年（2021–2026）為負。即使用二十年的視窗，溢酬仍然可以整段為負。價值因子連續為負規模因子連續為負−4%−2%0%2%4%6%8%10%19501960197019801990200020102020價值（HML）規模（SMB）年過去 20 年的年化溢酬
圖 10-1規模與價值因子的 20 年滾動年化溢酬。價值因子最長曾連續 6 年（2021–2026）的二十年滾動溢酬為負。注意這裡用的是二十年視窗——不是三年，也不是五年。資料來源：Kenneth R. French Data Library，月度三因子。
方法與判斷

改良：加上「連續為負最長幾年」的標注與零軸帶狀陰影。

小型價值、大型價值與大型成長的 20 年滾動年化報酬折線圖。三條線分別是小型價值、大型價值與大型成長組合過去 20 年的年化總報酬。小型價值長期在上，但三條線的形狀幾乎同步——近三十年的月報酬相關係數：小型價值對大型成長 0.69、小型價值對大型價值 0.86。因子分散不等於分散掉市場風險。0%5%10%15%20%25%19501960197019801990200020102020小型價值大型價值大型成長年過去 20 年的年化總報酬
圖 10-1a把因子拆回資產類別：小型價值長期在大型價值與大型成長之上，但三條線的形狀幾乎同步。這正是 §14.1 的重點——因子分散降低的是相對表現的離散度，不是市場風險本身。資料來源：Kenneth R. French Data Library，6 Portfolios Formed on Size and Book-to-Market。
方法與判斷

改良：同時標出三者的滾動相關係數，直接量化「同步」。

10.1　價值溢酬的兩種解釋

風險解釋（Fama–French）：價值型公司是體質較差、財務槓桿較高、在景氣衰退時更容易倒閉的公司。拿到的溢酬是承擔「衰退時期特別痛」這個風險的補償。

行為解釋（Lakonishok–Shleifer–Vishny）：投資人系統性地對成長股外推過度樂觀、對價值股外推過度悲觀。溢酬來自這個定價錯誤被修正。

下圖是判別兩者的一個關鍵證據：價值型公司的盈餘確實成長得比成長型公司慢——所以市場給它們較低的估值並不是完全錯的。但價值股的起始盈餘水準高出太多，即使成長較慢，總報酬仍然勝出。這說明市場「方向對了，幅度過頭了」，比較支持行為解釋。

每投入一千美元買到的盈餘，依盈餘價格比十分位橫條圖。每一條是投入 1,000 美元在該類股票上所買到的年度盈餘（以 1970 年以來的平均盈餘價格比計算）。價值型（最高 E/P 十分位）約 $193，整體市場約 $77，成長型（最低 E/P 十分位）約 $22。成長股的盈餘確實成長得比較快，但起點低了三倍以上——這個差距，成長率要花很多年才追得回來。價值型（E/P 最高十分位）$193整體市場（中間十分位）$77成長型（E/P 最低十分位）$22
圖 10-2每投入一千美元買到的盈餘。成長股的盈餘成長確實比較快，但起點低了三倍以上——市場給成長股較低的盈餘收益率並不是完全錯的（方向對），只是幅度過頭（行為解釋）。原圖出自 Fuller 等人（1993），其八年盈餘成長軌跡沒有公開資料；這裡改用 E/P 十分位的起始水準重建，方法不同但支持同一個判斷。資料來源：Kenneth R. French Data Library，Portfolios Formed on E/P（1970 年以來的組合平均盈餘價格比）。
方法與判斷

原圖出自 Fuller, Huberts & Levinson (1993)，其八年盈餘成長軌跡無公開資料。改以 E/P 五分位的起始盈餘水準 + 實際後續八年盈餘與報酬重建，方法論在圖說中揭露；Fuller et al. 仍在正文中引用為原始證據。

10.2　怎麼讀一張因子迴歸表

因子迴歸最有用的功能，是把「這位經理人到底是有本事，還是只是押了某個因子」拆開來。以波克夏海瑟威為例：

期間年數α（年）α 的 t 值b（市場）s（規模）h（價值）調整後 R²
1965–19842014.93%1.411.110.480.580.22
1985–2004206.87%0.941.19−0.630.760.33
2005–2025212.94%1.000.71−0.240.310.52
全期間 1965–2025619.32%＊2.350.950.260.600.28

三個數字要一起看。第一，α 一路衰退——前段兩位數，最近一段只剩個位數。第二，價值因子的負荷 h 三段都是正的：這家公司從頭到尾都在做同一件事。第三，調整後 R² 一路上升——愈到後期，三個公開因子就愈能解釋它的報酬，也就是「剩下多少無法解釋」愈來愈少。

規模因子 s 從正翻負，這是它自己變大的痕跡：早年像一檔小型價值基金，後來像一檔大型價值基金。

標準誤與 t 值是原表沒有的。加上去之後會看到一件不舒服的事：分期估計的 α 全都不顯著，只有把六十年併起來看才顯著。這正是 §13.3 的重點——即使是這個樣本，要在統計上分辨技能與運氣，需要的資料量都超過大多數人的想像。

這是單一公司的存活者樣本。會被寫進教科書的公司，本來就是從成千上萬家裡挑出來的。

表 10-4波克夏的三因子迴歸，分成三段等長期間估計（1965–2025）。α 一路衰退、價值負荷始終為正、調整後 R² 一路上升——三件事同時發生。資料來源：波克夏年報公布的「Annual Percentage Change in Per-Share Market Value」（1965–2025）＋ Kenneth R. French Data Library 的年度三因子。迴歸由 Yu Lab 自行執行。
方法與判斷

改良：延伸到 2025（含巴菲特卸任後第一年），並附上迴歸的標準誤與 t 值——原表沒有，但這正是 §13.3 的重點。

正文引用了這張圖裡的具體數字。改資料來源時，正文必須同步核對。

年市場超額 Rm−RfSMBHMLRf波克夏波克夏超額S&P 500
196510.52%21.84%7.42%3.93%49.50%45.57%10.00%
1966−13.55%2.70%−0.83%4.76%−3.40%−8.16%−11.70%
196724.50%49.79%−8.06%4.21%13.30%9.09%30.90%
19688.91%24.25%18.23%5.21%77.80%72.59%11.00%
1969−17.52%−13.96%−10.04%6.58%19.40%12.82%−8.40%
1970−6.43%−11.80%21.45%6.52%−4.60%−11.12%3.90%
197111.78%5.69%−10.93%4.39%80.50%76.11%14.60%
197213.07%−12.16%1.46%3.84%8.10%4.26%18.90%
1973−26.25%−23.36%17.50%6.93%−2.50%−9.43%−14.80%
1974−35.82%−0.64%9.65%8.00%−48.70%−56.70%−26.40%
197532.55%14.99%9.36%5.80%2.50%−3.30%37.20%
197621.90%14.66%24.26%5.08%129.30%124.22%23.60%
1977−8.25%22.74%7.52%5.12%46.80%41.68%−7.40%
19781.06%14.30%0.52%7.18%14.50%7.32%6.40%
197913.07%20.86%−2.37%10.38%102.50%92.12%18.20%
198021.96%5.29%−24.13%11.24%32.80%21.56%32.30%
1981−17.97%6.72%24.88%14.71%31.80%17.09%−5.00%
198210.93%8.20%12.99%10.54%38.40%27.86%21.40%
198313.74%13.94%20.42%8.80%69.00%60.20%22.40%
1984−5.99%−8.16%19.00%9.85%−2.70%−12.55%6.10%
198524.91%0.04%0.99%7.72%93.70%85.98%31.60%
198610.27%−9.56%9.55%6.16%14.20%8.04%18.60%
1987−3.84%−10.82%−1.26%5.47%4.60%−0.87%5.10%
198811.63%5.49%14.75%6.35%59.30%52.95%16.60%
198920.45%−12.70%−4.40%8.37%84.60%76.23%31.70%
1990−13.86%−13.91%−10.11%7.81%−23.10%−30.91%−3.10%
199129.22%16.07%−14.64%5.60%35.60%30.00%30.50%
19926.27%7.67%24.34%3.51%29.80%26.29%7.60%
19938.26%6.53%17.05%2.90%38.90%36.00%10.10%
1994−4.05%−0.46%−0.76%3.90%25.00%21.10%1.30%
199531.25%−9.85%5.70%5.60%57.40%51.80%37.60%
199616.00%−4.65%8.70%5.21%6.20%0.99%23.00%
199726.00%−7.80%18.26%5.26%34.90%29.64%33.40%
199819.39%−24.94%−10.77%4.86%52.20%47.34%28.60%
199920.55%13.80%−28.61%4.68%−19.90%−24.58%21.00%
2000−17.48%−4.31%45.28%5.89%26.60%20.71%−9.10%
2001−15.03%17.80%19.04%3.83%6.50%2.67%−11.90%
2002−22.77%3.98%8.74%1.65%−3.80%−5.45%−22.10%
200330.67%26.32%4.76%1.02%15.80%14.78%28.70%
200410.75%4.34%7.65%1.20%4.30%3.10%10.90%
20053.13%−2.45%9.36%2.98%0.80%−2.18%4.90%
200610.57%0.12%11.71%4.80%24.10%19.30%15.80%
20071.07%−7.50%−16.92%4.66%28.70%24.04%5.50%
2008−38.25%2.46%1.24%1.60%−31.80%−33.40%−37.00%
200928.55%8.93%−8.22%0.10%2.70%2.60%26.50%
201017.32%13.87%−5.35%0.12%21.40%21.28%15.10%
20110.48%−5.71%−8.32%0.04%−4.70%−4.74%2.10%
201216.30%−1.22%9.91%0.06%16.80%16.74%16.00%
201335.16%7.64%2.54%0.02%32.70%32.68%32.40%
201411.74%−7.65%−1.80%0.02%27.00%26.98%13.70%
20150.20%−3.89%−9.53%0.02%−12.50%−12.52%1.40%
201613.36%6.54%22.81%0.20%23.40%23.20%12.00%
201721.50%−5.28%−13.37%0.80%21.90%21.10%21.80%
2018−6.82%−3.18%−9.62%1.81%2.80%0.99%−4.40%
201928.43%−6.52%−10.33%2.14%11.00%8.86%31.50%
202023.59%13.48%−46.94%0.44%2.40%1.96%18.40%
202123.87%−3.78%25.61%0.04%29.60%29.56%28.70%
2022−21.32%−7.01%25.68%1.42%4.00%2.58%−18.10%
202321.75%−3.53%−13.97%4.95%15.80%10.85%26.30%
202419.76%−11.31%−8.44%5.26%25.50%20.24%25.00%
202513.30%−11.01%9.22%4.25%10.90%6.65%17.90%

迴歸就是拿最右邊那一欄（波克夏超額）去對前三欄做最小平方。截距是 α，三個斜率是 b、s、h，R² 是「這三欄解釋掉了多少變異」。

舊版只節錄三列。這裡放全表，因為在網頁上它可以捲動——而看得到全部的資料，本來就比看得到三列更有說服力。

表 10-5迴歸的原料：逐年的三因子報酬、無風險利率與波克夏報酬（1965–2025）。資料來源：波克夏年報公布的「Annual Percentage Change in Per-Share Market Value」（1965–2025）＋ Kenneth R. French Data Library 的年度三因子。迴歸由 Yu Lab 自行執行。
方法與判斷

改為原生 HTML 表，並改成可展開的完整年表（不再只有節錄三列）。

讀法有五個層次。（一）阿法是模型解釋不掉的部分，也就是「真本事」的估計；三段期間分別是 14.93%、6.87%、2.94%，一路衰退。（二）市場因子 b 三段都接近 1，這家公司沒有靠加大市場曝險取勝。（三）價值因子 h 三段都是正的（0.58、0.76、0.31），波克夏本質上是一台價值型機器——它的部分超額報酬其實可以用價值溢酬解釋。（四）第一段的調整後 R² 只有 0.22，代表早期波克夏的報酬有將近八成無法被三因子解釋，這才是真正的傳奇之處。（五）R² 隨時間升到 0.52、阿法降到 2.94%，代表隨著規模變大，它愈來愈像市場。

再看一眼規模因子 s：從 +0.48 翻成 −0.24。那是它自己長大的痕跡——早年像一檔小型價值基金，後來像一檔大型價值基金。

最後看 t 值那一欄，會看到一件不舒服的事：三段期間的阿法沒有一段在統計上顯著，只有把六十一年併起來看（阿法 9.32%、t = 2.35）才顯著。連這個樣本都是如此。這正是 §13.3 要談的：要在統計上分辨技能與運氣，需要的資料量遠超過大多數人的想像。

波克夏與美國股市的滾動十年年化報酬，1974–2025兩條滾動十年年化報酬曲線。早期波克夏的曲線遠高於市場，差距最大時超過二十個百分點；2000 年之後兩條線大致重疊，最近幾個十年期波克夏甚至數次落在市場之下。波克夏落後市場的十年期開始出現0%10%20%30%40%50%198019902000201020201974 年止的十年：12.5%2025 年止：14.3%波克夏美國股市（含息）十年期的結束年十年年化報酬
圖 10-3波克夏與美國股市的滾動十年年化報酬。早期的差距大到不需要統計檢定就看得出來；2000 年之後兩條線幾乎重疊。這就是上表那個 α 從兩位數掉到個位數的樣子。資料來源：波克夏年報公布的「Annual Percentage Change in Per-Share Market Value」（1965–2025）＋ Kenneth R. French Data Library 的年度三因子。迴歸由 Yu Lab 自行執行。
方法與判斷

延伸到 2025。

10.3　動能：最難塑的一個因子

動能（momentum，Jegadeesh 與 Titman 1993）是因子家族裡最尷尬的一個：它的實證強度極高（跨國、跨資產類別、跨世紀都成立），卻最難用風險解釋。它也是唯一一個與再平衡方向相反的主流因子——再平衡賣贏家買輸家，動能買輸家賣贏家。

這不是矛盾，而是時間尺度不同：動能存在於 3–12 個月的尺度，而均值回歸（再平衡賺的那個）存在於 3–5 年的尺度。一年一次的再平衡剛好跌在兩者交界處，實證上影響很小（§15.3）。但它確實提醒我們：「買低賣高」不是一條普遍真理，它只在特定的時間尺度上成立。

只有市場、規模、價值、動能、獲利能力大致通過這四道門檻。學界已發表的數百個「因子」中，多數連第一道都過不了。

PART III