第二部 組合的數學
7 效率前緣的推導
馬可維茲問題：在給定目標期望報酬 μ0 的前提下，找出變異數最小的權重。這是一個帶等式約束的二次規劃：
minw ½ wTΣw s.t. wTμ = μ0, wT1 = 1
拉格朗日函數：L = ½wTΣw − λ(wTμ − μ0) − γ(wT1 − 1)
一階條件：∂L/∂w = Σw − λμ − γ1 = 0
故 w* = Σ−1(λμ + γ1)
把 w* 代回兩個約束，定義三個純量：
A = 1TΣ−1μ, B = μTΣ−1μ, C = 1TΣ−11, D = BC − A²
λ = (Cμ0 − A)/D, γ = (B − Aμ0)/D
最小變異數：σp² = (Cμ0² − 2Aμ0 + B) / D
這是一條以 μ0 為變數的二次式，因此在 (σ², μ) 平面上是拋物線，在 (σ, μ) 平面上是雙曲線的右支。它的頂點（全域最小變異組合）位於 μgmv = A/C，σgmv² = 1/C，對應權重 wgmv = Σ−11 / C。上半支（μ0 ≥ A/C）就是效率前緣：在相同風險下沒有更高報酬的組合。
方法與判斷
改良：實際把前緣曲線、最小變異點與被支配區域畫出來，補上原圖缺的那條線。