第二部 組合的數學
9 CAPM 與 beta
如果（一）所有人都照第 8 章那樣行動、（二）所有人對 μ 和 Σ 的看法一致、（三）沒有稅與交易成本，那麼所有人持有的切點組合必須加總等於市場上所有資產的總和。換句話說，切點組合就是市值加權的市場組合。這一步就是 CAPM 的全部內容。
9.1 證券市場線的推導
考慮把權重 x 放在資產 i、(1−x) 放在市場組合 M，得到組合 q：
μq = xμi + (1−x)μM σq² = x²σi² + (1−x)²σM² + 2x(1−x)σiM
在 x = 0 處求導：dμq/dx = μi − μM ； dσq/dx = (σiM − σM²)/σM
故邊際替換率 dμ/dσ 在 x=0 處 = (μi − μM)σM / (σiM − σM²)
均衡時此值須等於 CML 斜率 (μM − rf)/σM，整理得：
這條式子叫證券市場線（SML）。它說的事情極為深刻：一個資產的期望報酬，完全由它與市場的共變異數決定，跟它自己的總波動無關。個別波動（idiosyncratic risk）可以被分散掉，市場不會為它付錢。
9.2 beta 的兩種讀法
β 同時是（一）迴歸 Ri − rf = α + β(RM − rf) + ε 的斜率，與（二）資產對組合總風險的邊際貢獻。第二種讀法更本質：把 σp² 對 wi 微分，會得到 2·Cov(Ri, Rp)，也就是說加一塊錢進某資產所增加的組合風險，正比於它與組合的共變異數。
兩種讀法都指向同一件事：β 量的是「跟市場一起動多少」，不是「自己動多大」。這個區別在實務上被混用得很嚴重，因為兩者在中文裡常被同一個詞（「波動」）帶過。把迴歸式的變異數取出來就清楚了：
σi² = βi²σM² + σε²
前一項是系統風險（會被定價），後一項是殘差風險（在分散的組合裡會被消掉，因此不被定價）。
以 σM = 20%、β = 0.8 為例：系統部分是 0.8 × 20% = 16%。若這家公司自己的殘差波動 σε = 15%，則 σi = √(16² + 15²) ≈ 21.9%。
β 只有 0.8，總波動卻高於市場的 20%。這在集中持股的控股公司、單一產業龍頭、以及任何自帶營運或財務槓桿的企業身上是常態。對持有整個市場的人來說，這不是問題——殘差被別的持股抵銷掉了，所以 §9.1 只補償 β。但對只買一檔、又要對它施加槓桿的人來說，這是個關鍵區別：§2 的波動拖累與 §25 的 (k²−k)σ²/2 吃的是 σi，不是 β。低 β 不會替持有人省下任何一分衰減。§25.13 會把這件事算到底。