All in 比留現金有效率，那單筆投入的尾端風險怎麼算？

這個問題的前半段已經推得很乾淨：理性上的 All in，比較的是「可投資的錢全部進入一個設計好的組合」與「留一部分現金在外面」。前者用股債比調整風險，資金一分不閒置；後者讓一部分錢領最低的報酬。期望值上前者有效率。

後半段的直覺也是對的：一次投入有一個標準差量不到的尾巴。 同樣的組合、同樣的股債比，進場的那一天不同，十年後的結果可以差到一邊早就回本、一邊還在水下。這篇要做的，是把那個尾巴用幾把可以量的尺量出來，再看它該怎麼進到配置裡。

前半段：放在外面的現金，只是更左邊的一點

先把「留現金」放回同一條軸上。假設可投資的錢留 20% 在活存，其餘 80% 放進股票 75% 的組合——整體的股票比重其實是

也就是 60%。這跟直接持有一個股票 60% 的組合，曝險完全相同，差別只在那 20% 的防守部位放的是活存還是短債。前者幾乎沒有期限溢酬，後者有。

所以「All in 比留現金有效率」精確的意思是：同樣的風險水準，把防守部位放進組合裡、用有報酬的資產來當，比放在組合外面閒置有效率。 這是全股票不開槓桿那條曝險軸的左半段，也是60/40 失效了嗎在處理的那一格。

這個結論成立，而且它的前提只有一個：放在組合外面的那筆錢，沒有一個組合裡的資產無法替代的用途。 緊急預備金與幾年內確定要用的錢有那個用途，它們不在這個比較裡——我應該 All in 投資股票嗎把這三種錢拆開過。

後半段：標準差只回答一個問題

標準差回答的是「一年之內通常晃多少」。它對兩個人可以給出完全相同的數字，而他們承擔的尾巴完全不同：一個在下跌後兩年就回本，另一個要等十五年。

要把尾巴量出來，至少需要五把尺。

第一把：機率——持有 n 年後實質虧損的比例

用 Shiller 的美股實質總報酬（含股利再投入、扣除通膨），從 1871 年以來每一個月份當起點，持有 n 年：

機率確實隨持有年數快速下降。但十年那一列要看清楚：每九、十個起點裡就有一個是十年後實質虧損，而最差的那一段十年累積掉了 46%。對一個十年後要用這筆錢的人，那不是尾巴，是一個不能忽略的情境。

第二把：時間——要等多久才「永久」站回本金

機率只看終點。更貼近實際感受的問題是：一次投入之後，要撐多久這筆錢才算真的安全？

這裡用的定義刻意比較嚴：從投入的那個月份起算，到實質總報酬指數最後一次低於起點為止。只看第一次回到原點會低估等待——1929 年進場的錢在 1930 年代中期碰過一次原點，隨即又跌回去。

這張圖說了兩件事：

• 大部分的時候，一次投入很快就安全了。 中位數只有 2.4 年，超過五年的起點佔 35%。
• 但壞的起點會擠在一起。 1900 年代初、1929 年前後、1960 年代到 1970 年代初、2000 年前後，連續好幾年的起點全部要等十年以上。這不是隨機散落的壞運氣，是估值與時代造成的群聚——在那幾年裡，不管哪一個月進場都一樣。

所以單筆投入的尾端風險，精確地說是進場時點的集中：一次投入把整筆錢綁在同一個起點上，而壞起點是成群出現的。

第三把：深度——最差的那一段平均有多差

前兩把用的是歷史，只有一條路徑。換成模型，可以直接問分布的左尾：期末財富倍數最差的 5% 落在哪裡、跌破那裡時平均剩多少。

用本站的實質報酬假設，股票比重 100% 與 60%：

兩件事值得注意：

• 持有三十年，中位數翻了好幾倍，最差 5% 的平均卻仍然低於本金。 時間把分布的中間推上去，沒有把左尾收起來。
• 股債比是調整左尾最直接的旋鈕。 股票從 100% 降到 60%，三十年的中位數只少一些，最差 5% 的平均卻從 0.45 倍拉到 0.74 倍。這正是前半段那句「用股債比調整風險」真正在調的東西。

模型的左尾比美股歷史厚：上面的歷史表裡，三十年的視窗一次都沒有虧損，模型卻給出 13%。兩邊都有理由：美股是一條事後走得特別好的路徑，三十年的獨立樣本也只有五、六段；模型則不知道任何特定國家的運氣。把歷史讀成樂觀的那一邊、把模型讀成保守的那一邊，比較接近誠實。

第四把：代價——把尾巴保掉要付多少

「時間會分散風險」是最常被拿來回應尾端風險的一句話。它對了一半，而另一半可以用一個價格量出來。

假設要買一份保險：持有 $T$ 年之後，如果結果輸給無風險資產，差額由保險補足。這就是一個履約價隨無風險利率成長的賣權，代進 Black–Scholes 之後利率項會完全消掉（Bodie, 1995）：

模型：期末實質虧損的機率模型：保本的保費（佔本金）美股實際：虧損視窗比例

持有 1 年，虧損機率 42%、保費 6.8%；持有 30 年，虧損機率降到 13%，保費卻升到 36%。

兩條線的方向相反，因為它們量的是不同的東西。 機率只數「有沒有掉進尾巴」，保費同時計入「掉進去之後有多深」。持有越久，掉進去的機會越小，但留在裡面的那些結局越來越極端。市場對這件事的定價很誠實：如果時間真的消除了風險，長天期的保本保險應該越來越便宜，實際上剛好相反。

第五把：地點——時間治不好的那個尾巴

前四把都假設市場本身長期是好的。最後一把要問的是：押的是哪一個市場？

一百五十年的持有期，夠長到讓前四把尺的問題都變小。但同樣一百五十年，好的市場與差的市場差了好幾個百分點的年化——這個差距持有再久都不會收斂，因為它不是波動，是那個經濟體本身的結果。而這張表本身還有存活者偏誤：資料裡的國家都是今天的已開發國家。

這把尺的解法只有一個，就是分散到多個市場。時間處理的是同一個市場裡的起伏，處理不了押錯市場。

單筆投入的尾巴，其實是「進場時點的集中」

把五把尺放在一起看，單筆投入真正多出來的風險很具體：它把整筆錢綁在同一個起點。 而第二把尺已經顯示，壞起點是成群出現的。

分批投入的作用，就是把一個起點拆成好幾個。它付出的代價也很具體：分批的那段期間，平均只有一半的錢在市場裡，放棄的是那一段的風險溢酬——這在我應該 All in 投資股票嗎與全書分批投入與單筆投入算過，期望值上單筆投入多數時候贏。

所以兩者的關係比較像保險：

• 分批買到的是起點的分散。 它讓「剛好在 1929 年或 2000 年一次投入」那種最壞的單點情境變得不可能。
• 它沒有買到尾巴的消失。 分批在一兩年內完成的人，仍然整段經歷了後面的十年；壞時代的群聚通常比任何分批期間都長。
• 它的保費是確定的，理賠是機率的。 如果這份保險是讓人在下跌時仍然留在市場裡的那個東西，它值得買；如果只是為了感覺好一點，它的價格偏貴。

理性的做法：把尾巴換算成目標的單位

風險在理性上的定義很樸素：目標失敗的機率，乘上失敗之後的後果。 標準差兩者都沒有直接量到。把上面五把尺接到這個定義上，會得到三條可以操作的規則。

一、用等待時間決定哪些錢不能放股票。 第二把尺顯示，美股歷史上約有 25% 的起點要等十年以上才永久站回本金。所以十年內確定要用的錢，不該讓它的安全依賴股票——不是因為股票期望值不好，是因為那個機率的後果無法接受。這一段在風險承受度是三件事裡是「能力」那一項的算法。

二、股票比重由尾巴決定，不由標準差決定。 第三把尺的表格說明，股債比真正在調的是左尾的深度。選比重的時候該問的是：最差 5% 的那個結局發生時，目標還成不成立？ 如果答案是不成立，比重就太高，不管標準差看起來多溫和。

三、剩下的尾巴是溢酬的價格，而且要確認自己付得起。 第四把尺說明，這個尾巴沒有便宜的方法可以消掉——長期保本的保費接近本金的三分之一以上。所以它不是一個要「解決」的問題，是一個要事先接受的條件。真正要確認的只有一件事：尾巴發生的時候，不會被迫在低點賣出。被迫賣出會把一個可逆的等待變成不可逆的損失，那條分界線在股票跌很多就是風險很高嗎。

回到原本的問題

All in 比留現金有效率，這句話成立，前提要寫完整：

1. 指的是可投資的錢全部進入組合，緊急預備金與近期要用的錢不在其中。
2. 組合的股債比由尾巴決定，用最差情境下目標是否成立來檢查，不用標準差。
3. 組合在多個市場之間分散，處理時間治不好的那個尾巴。
4. 剩下的尾巴是事先接受的，而且已經確認那時候不必賣。

四個條件都成立時，「一次全部投入」與「分幾次投入」的差別，就只剩下一個期望值與起點分散之間的取捨，而不再是一個賭不賭得起的問題。

這篇的資料與模型各自漏掉什麼

• 歷史表與等待時間用的是 Shiller 美股月資料的實質總報酬，含股利再投入，未扣交易成本、稅與基金費用。滾動視窗彼此重疊，不是獨立樣本；三十年的獨立樣本只有五、六段。
• 美國是事後走得特別好的市場，這些數字應該讀成樂觀的那一邊。跨國比較用的是 Jordà–Schularick–Taylor 資料庫的長期年化報酬，同樣有存活者偏誤。
• 「永久站回本金」只收後面至少還有 25 年資料的起點，所以 2001 年以後的起點不在圖上；觀察到的最長等待約 20 年，25 年的門檻留了餘裕。
• 模型的部分假設報酬對數常態、獨立同分配、參數固定。真實的尾巴比常態厚，而且報酬可能有均值回歸；兩者對長期左尾的影響方向相反，本文沒有處理。
• 保本保費是理論價格，市場上不一定買得到這麼長天期的賣權；它在這裡的用途是量尺，不是建議。
• 本文不構成投資建議，也不推薦任何具體標的或投入方式。