一半正二、一半現金，等於一倍原型嗎？

「一半買正二、一半放現金，這樣算不算一倍？」是槓桿問題裡最常被問、也最常被答錯的一題。常見的兩個答案剛好落在兩個極端，而且都不對：

• 「一半的 2 倍就是 1 倍，跟直接買原型完全一樣。」
• 「正二有波動衰減，只放一半也會被吃掉，長期一定輸很多。」

正確的答案比較有意思：如果每天把權重拉回 50/50，等效曝險精確等於 1 倍，也完全沒有額外的波動衰減——唯一的差別是多付了半份內扣費用。

三行就推完

設標的當日報酬 $r$，2 倍基金的當日報酬扣掉隱含融資與內扣，現金則賺短率：

每日再平衡到 50/50，組合的當日報酬是

利率項完全相消——借的和存的一樣多。剩下的是標的報酬減掉半份內扣。曝險恰好是 1，所以槓桿要開幾倍才最好裡那個 $L^2\sigma^2/2$ 的懲罰，在這裡的 $L$ 就是 1，沒有多出來的部分。

一般化：$x$ 比例的 $m$ 倍基金加上 $1-x$ 的現金，每日再平衡之後的等效曝險是

衰減為什麼會消失

因為衰減從來就不是基金「內部壞掉」。它是維持固定槓桿這件事的產物：連續兩天 +10%、−10%，2 倍基金會落後兩倍的累積報酬，落後的量是 $L(L-1)\sigma^2 T/2$，算法在正二長期抱著會被盤整吃掉嗎。

每天把資金在 2 倍基金與現金之間重新分配，等於每天把整個部位的曝險重設回 1 倍。這在數學上與再平衡是同一件事，只是再平衡的對象換成「一個槓桿部位與現金」。曝險維持在 1，衰減那一項自然就是 $1 \times 0 \times \sigma^2/2 = 0$。

所以「衰減」不是正二的性質，是持有方式的性質。

那另外一半錢，決定了整件事的性質

另一半現金・內扣 1.0%另一半現金・內扣 0.3%另一半短債・內扣 0.3%

把等效曝險 1 倍那一點的三個版本擺在一起：

前兩列說的是同一件事：另一半只是躺在活存的話，買到的是一個比較貴的原型。 差距剛好是半份內扣費用，不多也不少。

這裡有一個很重要的推論：「用一半的錢達到同樣曝險」提高的是資本效率，報酬不會自動增加。 它把 50% 的資金釋放出來，而那 50% 有沒有被拿去做有生產力的事，才決定這個結構划不划算——買短債、當緊急預備金、抵掉高利率負債都算，放在活存不算。

另一半生息之後，它的真實身分

第四列是不一樣的。把「50% 正二 + 50% 短債」攤開來看：100% 的指數曝險 + 50% 的短債曝險，用 50% 的借款支撐。換句話說，它是一個 1.5 倍槓桿的 67/33 股債組合，而基準（100% 原型）是一個沒有槓桿的 100/0 組合。

所以這題與風險承受度低的人該開槓桿嗎裡那個風險平價論證是同一題：先找到夏普比率較高的混合組合，再用槓桿把它放大到需要的風險水準。而那一題的結論在這裡照樣成立——成本是唯一的關鍵。

在這組假設下，短債版本比原型高 +0.01 pp。它翻正了，但翻正的幅度小於任何一種實作雜訊。

四個必須一起接受的附帶條件

即使不等式勉強成立，還有四件事要一起接受：

一、必須真的每日（或至少門檻式）再平衡。 整段推導的前提是權重固定。不再平衡的話，漲多了 2 倍基金的佔比自動上升、曝險跟著飆；跌深了自動縮水、反彈時參與得更少。沒有紀律的話，這個結構會退化成最糟的那一種。

二、波動比 100% 原型高，不是一樣。 表裡第四列的波動是 20.2%，原型是 20.0%。多出來的是短債那一塊自己的變異數與共變異數。「一樣的曝險、一樣的風險」這句話是錯的——換到的那點利差是用更高的波動買的。

三、這是一個對股債相關係數下注的部位。 相關係數為負時這個結構有利，為正時不利。而它轉正的時候，通常正好是股債一起跌的時候——60/40 失效了嗎處理的就是這個體制風險。

四、多了一層產品風險。 追蹤誤差、期貨轉倉的價差、流動性、發行商的操作品質，這些都不在公式裡，但量級輕易超過幾個基點。當一個結構的理論優勢只有幾個基點，實作雜訊就會主宰結果。

它真正的強項在別的地方

看那張圖：短債那條線在權重 50% 附近幾乎貼著基準，而且再往右就往下彎。這說明**「用它取代 100% 原型」從來不是它的強項**。

它的強項是另一件事：當目標曝險本來就超過 1 倍時，這是散戶拿得到的比較便宜的槓桿。

假設目標是 1.3 倍，有三條路：

第二條路在這組假設下的幾何報酬是 5.76%，等效曝險 1.30 倍、波動 26.1%。它明顯勝過第一條——不會被追繳這一點的價值，遠大於帳面上那幾個基點，理由與有房貸的人買股票那一頁講的是同一件事。

順序不能反

這一題最常見的錯誤不是算錯，是問錯：先挑工具，再回頭問這個工具等於幾倍。

正確的順序是反過來的：

1. 先決定要幾倍。 這是風險承受度是三件事與槓桿要開幾倍才最好的工作，而多數人的答案會落在 1 倍附近或以下。
2. 再決定用什麼工具達成那個倍數。 這時候才輪到比較融資、槓桿型基金加短債、期貨的成本與機制。

順序反過來，就會問出「50% 正二能不能取代原型」這種其實沒有答案的問題——因為它問的是工具，而工具本身沒有對錯，只有在某個目標曝險下比較便宜或比較貴。

這篇的計算範圍

• 參數沿用全書的那一組假設值，不是任何市場或商品的預測，也不對應任何一檔實際的基金。換一組參數，成立與否會翻面。
• 推導假設每日精確再平衡、無交易成本、無稅、無追蹤誤差。四項都放寬之後，方向一致地不利於這個結構。
• 隱含融資成本、內扣費用與短債殖利率都會變動，而結論對這三個數字非常敏感。要用的話，這三個數字需要定期查一次，不能一次決定永遠。
• 幾何報酬用的是 $g \approx \mu - \sigma^2/2$ 的二階近似，高波動時會低估拖累。
• 本文不建議使用槓桿，也不評論任何槓桿商品、券商條件或發行商。