槓桿要開幾倍才最好？

讓長期複利報酬最大的槓桿倍數是 $L^* = (\mu - c)/\sigma^2$——風險溢酬除以變異數。用一組常見的參數（期望報酬 7%、波動 17%、借款成本 3%）算出來大約是 1.38 倍。超過 1.77 倍之後，長期複利報酬會低於完全不用槓桿。

倍數提高後，平方懲罰會追上來

槓桿 $L$ 倍、借款成本 $c$ 時，兩個量都是線性的：

但長期複利報酬還要再扣掉波動拖累，而那一項是平方的：

一個線性項減一個二次項，就是開口向下的拋物線。 它一定有最大值，而且一定會在某個倍數之後往下穿過原本的水準。

對 $L$ 微分並令為零：

二階導數是 $-\sigma^2 \lt 0$，所以那確實是最大值。這條式子與凱利公式、Merton 的最適配置是同一條——凱利只是風險趨避係數等於 1（對數效用）的特例。

再解一次 $g_L = g_1$，就得到損益兩平的倍數：

最適點與損益兩平點對稱地落在 1 的兩側。 用上面那組參數：最適 1.38 倍，損益兩平 1.77 倍。

標的波動 12%標的波動 17%標的波動 25%

代進去看數字：不用槓桿 5.56%，最適倍數 5.77%，2 倍 5.22%，3 倍 2.00%。注意 2 倍已經輸給不用槓桿了——因為損益兩平點只在 1.77 倍。而 3 倍付出的是接近三倍的波動，換到的複利報酬只有不用槓桿的一半不到。

曲線給出的三個推論

一、最適倍數對波動極度敏感。 $\sigma$ 在分母而且是平方。波動從 17% 降到 10%（同時期望報酬降到 5%），最適倍數反而升到 2.00 倍。這就是為什麼「先分散、把波動降下來，再談槓桿」的順序是對的，而「在單一高波動標的上加槓桿」是把兩個放大器串起來。

二、內扣費用不會改變最適倍數，但會把整條曲線往下壓。 費用那一項與 $L$ 無關，微分之後就不見了。所以費用不影響「幾倍最好」，只影響「值不值得做」。

三、這個數字本身估不準。 分子是 $\mu - c$，而期望報酬的標準誤是 $\sigma/\sqrt{T}$——用三十年資料估，95% 信賴區間大約有 ±7 個百分點寬。把這個不確定性代進 $L^*$，得到的區間會從 0 一路涵蓋到 3。「最適槓桿是 1.38 倍」這句話本身的信賴區間，包含了「應該持有現金」與「應該加三倍」。

第三點直接推出實務上那條「半凱利」法則。這條拋物線在頂點附近很平坦，到了右側卻急速下墜：低估一點幾乎沒損失，高估一點損失巨大。這個形狀支持往安全的一側偏離；追求小數點後的精確，沒有相稱的好處。

公式還沒算進摩擦

上面整條推導假設可以一路持有到底。三件事會讓它失效，而且都往同一個方向：

• 每日重設的耗損。 槓桿型 ETF 追蹤的是單日報酬的倍數，震盪本身就會扣錢，算法在正二長期抱著會被盤整吃掉嗎。
• 強制平倉。 曲線假設部位活得到最後。追繳與下市讓這個假設在最需要它成立的時候失效，機率算法在撐得夠久，槓桿一定會賺回來嗎。
• 借款成本會反向變動。 市場壓力最大時融資成本上升、額度下降，所以 $c$ 會隨市場改變，並且與資產表現負相關。

把這三件事算進去，最適倍數只會再往左移。

期望報酬與複利報酬

「我不是要最大化複利報酬，我是要最大化期望報酬。」 那沒有解——期望報酬對 $L$ 是線性遞增的，所以答案是「無限大」。任何有限的答案都必須先承認：真正在意的是財富的中位數路徑，而那就是幾何報酬。這是全書槓桿那一章最核心的一句話。

「過去十年正二的報酬明明遠高於原型。」 過去十年是罕見的低波動大多頭，而且利率接近零——$\sigma$ 小、$c$ 幾乎為零。把這兩個值代進上面那條式子，公式本來就會預測槓桿勝出。那不是反例，是對公式的驗證；問題是這兩個條件在 2022 年同時反轉了。

最適倍數不等於建議倍數

• $g \approx \mu - \sigma^2/2$ 是二階近似，高波動時會低估拖累，因此實際的最適倍數比算出來的更小。
• 推導假設可以連續調整倍數、報酬獨立同分配、借款成本固定、沒有稅。四項都放寬之後，方向一致地不利於槓桿。
• 文中的參數是模型假設，不是任何市場的預測。要換成自己的數字，把 $\mu$、$\sigma$、$c$ 代進 $L^* = (\mu-c)/\sigma^2$ 即可。
• 本文不建議使用槓桿，也不評論任何槓桿商品。