漲 50% 再跌 50%，為什麼不是回到原點？

因為報酬是乘起來的，不是加起來的。漲 50% 再跌 50%，兩期之後剩下 $1 - 0.5^2 = 0.75$ 。算術平均說 0%，戶頭說 −25%——兩個數字都對，只是在回答不同的問題。

兩期報酬的乘法

(1 + d)(1 - d) = 1 - d^2

漲 $d$ 、再跌 $d$ ，最後只剩 $1 - d^2$ ，回不到 1。缺口是幅度的平方：幅度加倍，缺口變四倍。

算術平均說的（＝1）實際剩下的（＝1 − d²）

橫軸是漲跌的幅度，縱軸是兩期之後剩下的財富。算術平均一直是零（虛線），實際剩下的隨幅度平方往下掉。

會覺得奇怪，是因為直覺把 +50% 和 −50% 當成兩個可以互相抵銷的量。它們不能，因為它們作用在不同的基數上：漲的那 50% 從 100 起算，跌的那 50% 從 150 起算。

換個講法更清楚：跌掉 $d$ 之後，回本所需的漲幅是。

\text{回本需要} = \frac{1}{1-d} - 1 = \frac{d}{1-d}

跌 10% 要漲 11.1%，跌 50% 要漲 100%，跌 80% 要漲 400%。這個不對稱可以直接由除法算出來，和心理感受無關。

上面是兩期的特例。一般的情形要看算術平均與幾何平均的差距。設每期報酬的期望值是 $\mu$ 、標準差是 $\sigma$ ，長期的年化（幾何）報酬約為：

g \approx \mu - \frac{\sigma^2}{2}

推導只有兩步。第一步，把報酬取對數，因為對數報酬可以相加：

\ln(1+R) \approx \ln(1+\mu) + \frac{R-\mu}{1+\mu} - \frac{(R-\mu)^2}{2(1+\mu)^2}

第二步，取期望值。中間那一項的期望值是零（因為 $\mathbb{E}[R] = \mu$ ），最後一項的期望值就是變異數：

\mathbb{E}\left[\ln(1+R)\right] \approx \ln(1+\mu) - \frac{\sigma^2}{2(1+\mu)^2}

$\mu$ 和 $\sigma$ 都不大時，分母約為 1，就得到 $g \approx \mu - \sigma^2/2$ 。

算術期望報酬固定在 8%（虛線），但實際拿到的複利報酬隨波動下降。波動 40% 時，兩者差了 8 個百分點——剛好把 8% 吃光。

代進去看：算術期望報酬 8%、年化波動 20% 的資產，長期複利報酬約 6.0%；同樣的 8%，波動拉到 40%，複利報酬只剩 -0.0%。廣告可以誠實地寫「長期平均報酬 8%」，而投資人三十年後打開帳戶發現錢幾乎沒動。兩個數字都沒說謊。

一、槓桿。 槓桿 $L$ 倍把 $\sigma$ 變成 $L\sigma$ ，所以拖累項變成 $L^2\sigma^2/2$ ——期望報酬線性成長，拖累平方成長。這就是最適槓桿存在的全部理由，算法在槓桿要開幾倍才最好。

二、再平衡。 兩個不完全相關的資產混起來，組合的 $\sigma$ 低於各自 $\sigma$ 的加權平均，而 $\mu$ 剛好等於加權平均。 $\mu$ 不變、 $\sigma^2$ 變小， $g$ 就變大了——這就是再平衡溢酬的來源。它是憑空多出來的複利報酬，不需要預測任何東西。

三、分散化為什麼值錢。 買了五十檔股票算分散嗎講的是怎麼把 $\sigma$ 降下來。降低波動不只是「比較好睡」，它會直接抬高長期複利報酬。這是分散化最容易被忽略的好處。

「那是不是應該只看幾何平均，算術平均沒用？」 不是。兩者回答不同問題。「明年一年的期望報酬是多少」是算術平均；「三十年後我會有多少錢」是幾何平均。做組合最佳化時，投入模型的是算術平均與共變異數；解釋給人聽時，講的是幾何平均。混用兩者是最常見、也最不需要說謊就能誤導人的手法。

「這只是數學遊戲吧，實際上不會這麼極端。」 這條式子的量級可以直接驗證：單一個股的年化波動經常在 40% 以上，槓桿商品更高。波動 40% 對應的拖累是 8 個百分點，而長期股票風險溢酬本身大約也只有這個量級。拖累不是修正項，它常常和要賺的東西一樣大。

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