歷史報酬裡的波動，已經扣過一次了

有一種反駁出現得很頻繁：某段歷史資料顯示 A 的年化報酬高於 B，於是有人說「可是 A 的波動大很多，把波動拖累算進去就沒那麼好了」。

這句話在事前的討論裡是對的。用在已經算出來的歷史年化報酬上，是把同一件事扣了兩次。

已實現的年化報酬，是什麼

年化報酬的定義只有一種：

它只看兩個數字：期初財富與期末財富。而期末財富是把每一期的報酬乘起來得到的：

那段期間所有真實發生的事——崩盤、腰斬、盤整、復甦、匯率變動——全部已經在這個乘積裡面。沒有任何一項需要另外再扣。

波動拖累那條式子，是事前用的

波動拖累那條式子長這樣：

左邊的 $g$ 是長期複利成長率，右邊的 $\mu$ 是算術期望報酬。這條式子的用途是：知道一個資產的期望報酬與波動，推算它長期會滾成什麼樣子。推導在漲 50% 再跌 50%。

關鍵在於，等號左邊那個 $g$ 和上一節的 $\hat g$ 是同一個位置的東西。歷史年化報酬已經是 $g$，不是 $\mu$。把它再減一次 $\sigma^2/2$，扣掉的是一筆已經扣過的錢。

把三個數字並排在資料上

這不是抽象的論點，可以直接量。以 2003-02 到 2026-07 的台股（實質美元計價）為例：

第一列與第二列之間那個差距，就是波動拖累。它已經發生了。第四列說明那條近似式在這組資料上抓得相當準——這正好證明它不是需要另外再加上去的修正項，它就是第一列變成第二列的原因。

台股那一欄扣掉的是 +2.37 pp，比美股多。就算把這個差距全部算成波動造成的，台股扣完之後的 10.99% 還是高於美股的 8.63%。這才是這段歷史的實際結果。

台股的年度資料也一樣。2004–2025 這 22 年，含息年報酬的算術平均是 14.2%，年化複利是 11.5%，差 +2.7 pp——標準差 23.9% 對應的 $\sigma^2/2$ 約 2.9%，量級對得上。

那這條式子什麼時候才該用

用在事前，而且要有兩個以上的資產才有意義。

假設兩個市場未來的算術期望報酬與波動分別是 $\mu_A, \sigma_A$ 與 $\mu_B, \sigma_B$，那麼。

於是波動較低的那一邊，即使算術期望報酬略低，長期複利仍可能反超。條件是：

這是一個乾淨的事前條件式，也是分散化能提高長期複利報酬的機制：混合之後 $\mu$ 是加權平均，$\sigma$ 低於加權平均，所以 $g$ 變大。買了五十檔股票，算分散嗎有這一段的推導。

但它需要 $\mu_A$ 與 $\mu_B$——未來的期望報酬。它不能拿歷史年化報酬代進去，因為那個位置放的是 $g$，不是 $\mu$。

已實現的夏普比率也一樣

同樣的邏輯適用在風險調整後報酬上。已經算出來的夏普比率。

分母已經放了實現波動。所以看到某個資產的歷史夏普比率比較高，不能再說「可是它波動大」——波動已經在分母裡了。

真正能講的反駁只有一個，而且完全成立：已實現的夏普比率不是期望夏普比率。 單一市場的實現平均報酬樣本誤差極大，二三十年的樣本幾乎沒有能力把「結構性優勢」和「這段運氣好」分開。這條線的數字在連續五年打敗大盤。

兩句話的差別

• 「這段歷史裡它的複利報酬比較高。」 這是可以直接量的事實，波動已經算在裡面。
• 「所以它未來的期望報酬比較高。」 這是另一個命題，需要另一組證據——起始估值、基本面成長、以及那段超額報酬有多少來自估值倍數擴張。

把第一句當成第二句，是回測第一名那篇在處理的問題。用波動拖累去反駁第一句，則是把工具用錯了地方——而且很容易被一張回測表直接打回來。

這份計算能說到哪裡

• 台股與美股的比較換算到實質美元後才進行，樣本 23.5 年，未扣費用與稅。
• $g \approx \mu - \sigma^2/2$ 是二階近似，波動很大時誤差擴大，而且是往低估拖累的方向錯。
• 表中的算術平均由月報酬年化而來，與年度資料算出的算術平均不會完全相同——兩者取樣頻率不同。
• 台股年度統計為含息名目新臺幣報酬，與表中的實質美元數字不同基準，不可交叉比較。